Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der analytischen Struktur von
Streuamplituden in stark gekoppelter N=4 super Yang-Mills-Theorie (kurz
N=4 SYM) im multi-Regge Limes. Dank der AdS/CFT-Korrespondenz
können Observablen in stark gekoppelter N=4 SYM durch duale
Rechnungen in einer schwach gekoppelten, und daher mit normaler
Störungstheorie beschreibbaren, Stringtheorie auf
einer AdS5×S5-Geometrie
berechnet werden. Insbesondere entspricht die Berechnung der
führenden Ordnung der n-Gluon Amplitude in N=4 SYM bei starker
Kopplung so der Berechnung einer Minimalfläche in AdS5, wobei
die Fläche auf der Aneinanderreihung der Gluonimpulse, und
daher auf einer lichtartigen Kurve, enden muss.
Die Berechnung der Minimalfläche kann auf die Lösung
eines Satzes von nichtlinearen, gekoppelten Integralgleichungen
zurückgeführt werden. Diese Gleichungen haben jedoch
keine analytische Lösung in allgemeiner Kinematik. Wir
untersuchen sie in dieser Arbeit daher im multi-Regge Limes, der
n-Teilchen Verallgemeinerung des Regge-Limes. Dieser Limes ist
besonders relevant, da selbst in der Beschreibung von Streuamplituden
in schwach gekoppelter N=4 SYM in diesem Limes eine bestimmte Klasse
von Feynman-Diagrammen resummiert werden muss. Diese Beschreibung
organisiert sich in Ordnungen von Logarithmen der im Streuprozess
vorhandenen Energie. Jede Ordnung in Logarithmen enthält dabei
Terme aus allen Ordnungen in der Kopplungskonstante und damit auch
spezifische Informationen über das Regime
starker Kopplung der Theorie.
In dieser Arbeit untersuchen wir daher die Frage, inwiefern die
Struktur der Streuamplitude im multi-Regge Limes erhalten bleibt, wenn
wir in den Limes starker Kopplung gehen. Wir zeigen, dass sich die
Gleichungen, die die
Minimalfläche beschreiben, im multi-Regge Limes für
eine beliebige Anzahl von Gluonen stark vereinfachen, was eine
analytische Auswertung der Streuamplituden ermöglicht. Wir
entwickeln einen Algorithmus zur Berechnung von Streuamplituden im
multi-Regge Limes und wenden diesen auf die 6- und 7-Gluon Amplitude
an. Unsere Ergebnisse zeigen, dass die von Regge-Theorie vorhergesagte
Faktorisierung der Amplitude für die betrachteten
Fälle auch bei starker Kopplung gilt.
This thesis concerns itself with the analytic structure of scattering
amplitudes in strongly coupled N=4 super Yang-Mills theory (abbreviated
N=4 SYM) in the multi-Regge limit. Through the AdS/CFT-correspondence
observables in strongly coupled N=4 SYM are accessible via dual
calculations in a weakly coupled string theory on an AdS5×S5-geometry,
in which observables can be calculated using standard perturbation
theory. In particular, the calculation of the leading order of the
n-gluon amplitude in N=4 SYM at strong coupling corresponds to the
calculation of a minimal surface embedded into AdS5. This surface ends
on the concatenation of the gluon momenta, which is a light-
like curve.
The calculation of the minimal surface area can be reduced to finding
the solution of a set of non-linear, coupled integral equations, which
have no analytic solution in arbitrary kinematics. In this thesis, we
therefore specialise to the multi-Regge limit, the n-particle
generalisation of the Regge limit. This limit is especially interesting
as even in the description of scattering amplitudes in weakly coupled
N=4 SYM in this limit a
certain set of Feynman diagrams has to be resummed. This description
organises itself into orders of logarithms of the energy involved in
the scattering process. In this expansion each order in logarithms
includes terms from every order in the coupling constant and therefore
contains information about the strong coupling sector of the theory,
albeit in a very specific way.
This raises the central question of this thesis, which is how much of
the
analytic structure of the scattering amplitudes in the multi-Regge
limit is preserved as we go to the strong coupling regime. We show that
the equations governing the area of the minimal surface simplify
drastically in the multi-Regge limit, which allows us to obtain
analytic results for the scattering amplitudes. We develop an algorithm
for the calculation of scattering amplitudes in the multi-Regge limit
and apply it to the special cases of the 6- and 7-gluon amplitude. Our
results show that for the cases under study the factorisation of the
amplitude as predicted by Regge theory is also preserved in the strong
coupling limit.