Kurzfassung
Eine fundamentale physikalische Theorie zeichnet sich durch ein Minimum
an a-priori-Struktur aus.
Der Beobachtung zugaengliche physikalische Phaenomene auf niedrigeren
Energieskalen koennen als Resultat einer Komplexitaetsreduktion erklaert
werden.
Somit ist die Bildung effektiver Theorien von zentraler Bedeutung.
Renormierungsgruppentransformationen und Mehrgitterverfahren, als eine
Form dieser, zielen auf die Bildung von effektiven Theorien.
Diese sollten die Physik auf einer groeberen Skala wiedergeben und dabei Lokalitaet und Eichkovarianz gewaehrleisten.
In dieser Arbeit werden unter Beruecksichtigung von Lokalitaetsforderungen
Blockspins (Variablen der effektiven Theorie) konstruiert.
Sie finden ihre Anwendung in der Loesung diskretisierter elliptischer Differentialgleichungen, die mit Hilfe von Mehrgitterverfahren geloest werden koennen.
Ein allgemeiner Formalismus, der nicht von einer a-priori-Hilbertraumstruktur ausgeht, wird hier anhand eines Zweigitters vorgestellt.
Die Eichkovarianz des resultierenden Blockspins wird diskutiert.
Die Forderung nach Lokalitaet einer effektiven Theorie kann aber auch zu
nichtunitaeren Paralleltransportern fuehren.
Higgsfelder koennen als Teil eines solchen nichtunitaeren Paralleltransporters in eine fuenfte Dimension interpretiert werden und durch Renormierungsgruppentransformationen entstehen.
In einem eindimensionalen Beispiel wird der Renormierungsgruppenfluss des Higgspotentials exakt berechnet.
(Diese Dimension soll spaeter als Extradimension interpretiert werden.)
Beginnend mit einer reinen Eichtheorie am UV-Fixpunkt naehert sich der
Fluss im asymptotischen Verhalten dem IR-Fixpunkt, der berechnet wird.
Spontane Symmetriebrechung kann zur Massenaufspaltung von Fermionen
unterschiedlichen Flavors fuehren.
Die Moeglichkeiten der Symmetriebrechung werden hier diskutiert.
Basierend auf einer gemeinsamen Arbeit mit G. Mack und T. Pruestel wird
ein eichtheoretisches Modell in fuenf Dimensionen vorgestellt, dessen
effektive Theorie das Standardmodell liefert.
Es erklaert die Flavor-Massenaufspaltung als Folge eines Higgsmechanismus und bietet die Moeglichkeit,die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix im Prinzip zu berechnen.
A fundamental physical theory is characterized by a minimum of a priori
structure.
Observable physical phenomena at low energy scales can be explained as a
result of complexity reduction.
Thus the building of effective theories is of fundamental importance.
Renormalization group transformations and multigrid methods as a sort of
it aim at constructing effective theories.
These should reproduce the physics at a larger scale providing for
locality and gauge covariance.
In this thesis block spins (variables of the effective theory) are constructed with respect to locality requirements.
They are used to solve discretized elliptical differential equations by means of multigrid methods.
A generalized formalism is presented in form of a twogrid.
It does not assume a Hilbert space a priori.
The gauge covariance of the resulting block spin is discussed.
The locality requirement of an effective theory may also lead to
nonunitary parallel transporters.
Higgs fields may be interpreted as a part of such a nonunitary parallel transporter in a fifth dimension.
They may arise as a result of renormalization group transformations.
The renormalization group flow of the Higgs potential is computed in a
one-dimensional example.
(This dimension will later be interpreted as extra dimension.)
Starting with a pure gauge theory at the UV-fixpoint the flow moves
towards an
IR-fixpoint in the asymptotic behaviour. This is computed exactly.
Spontaneous symmetry breaking can lead to a splitting of the masses of
the fermions of different flavor.
The possibilities of symmetry breaking are discussed.
Based on joint work with G. Mack and T. Pruestel a gauge theoretic model
in five dimensions is introduced, which contains the standard model as
effective theory.
It explains flavor mass splitting as result of a Higgs mechanism and
provides the possibility to compute the
Cabibbo-Kobayashi-Maskawa matrix in principle.