Kurzfassung
Gegenstand dieser Dissertation ist die Superauswahlstruktur von
Quantenfeldtheorien in 1+1 Raum-Zeit Dimensionen im Rahmen der Algebraischen
Quantenfeldtheorie. Die vorliegende Untersuchung zerfällt in zwei Teile. Im
ersten Teil, Kapitel 2, der sich auf masselose Modelle bezieht, wird das
Phänomen der `Entartung von Statistikcharakteren', d.h. der
Nicht-Invertierbarkeit der Verlinde-Matrix S, näher untersucht. Zunächst
wird ein hinreichendes Kriterium für die Abwesenheit entarteter Sektoren
angegeben. Anschließend wird Rehrens Vermutung bewiesen, daß man durch
Anwendung der Konstruktion geladener Felder von Doplicher und Roberts eine
nichtentartete Theorie erhält. Hierzu werden Methoden entwickelt, die auch in
der `klassischen' Situation von >= 2+1 Dimensionen neue Aussagen erlauben.
Der größere Teil dieser Arbeit widmet sich massiven Modellen, die die
Split-Eigenschaft für Keilgebiete (SPW) erfüllen. In Kapitel 3 wird in
modellunabhängiger Weise gezeigt, daß Netze lokaler Observablen, die
Haag-Dualität und die SPW in der Vakuum-Darstellung erfüllen, eine sehr
rigide Struktur besitzen. Sie lassen weder nichttriviale DHR-Sektoren zu, noch
Darstellungen, die eingeschränkt auf Keilgebiete äquivalent zum Vakuum
sind. Darüber hinaus gilt Haag-Dualität in allen irreduziblen, lokal
normalen Darstellungen. Anwendungen auf Soliton-Sektoren, die somit die einzig
möglichen Darstellungen von physikalischer Relevanz sind, werden gegeben.
Als Ausgangspunkt für Kapitel 4 dient das bekannte Phänomen, daß das
Fixpunktnetz 2A einer massiven Theorie 2F unter einer inneren
Symmetriegruppe G in 1+1 Dimensionen die Haag-Dualität verletzt. Unter
Verwendung von Disorder-Operatoren wird eine nicht-lokale Erweiterung
2F des Feldnetzes 2F konstruiert, die zwei interessante
Eigenschaften besitzt. Zum einen erlaubt sie die explizite Berechnung des zum
Fixpunktnetz gehörenden dualen Netzes 2Ad. Zum anderen trägt
2F eine Aktion von Drinfel'ds Quantendoppel D(G) als innerer
Symmetrie. Diese Symmetrie, die vermittels der R-Matrix auch die raumartigen
Vertauschungsrelationen beschreibt, ist nicht-entartet im obigen Sinne, aber
spontan gebrochen. In Analogie zu Roberts' Behandlung spontan gebrochener
Gruppensymmetrien kann man die Verletzung der Haag-Dualität von 2A als
Konsequenz dieser spontan gebrochenen `verborgenen' Symmetrie interpretieren.
The subject of this dissertation is the superselection structure of quantum field theories in 1+1 dimensions in the framework of Algebraic QFT, or Local Quantum Physics. The present work decomposes into two parts. In the first one, Chapter 2, which is concerned with massless models, we investigate the phenomenon of `degenerate statistics characters', which is equivalent to non-invertibility of Verlinde's matrix S. We give a sufficient criterion for the absence of degenerate sectors. Then we prove Rehren's conjecture to the effect that an application of the construction of charged fields due to Doplicher and Roberts yields a non-degenerate theory. The methods which we use for doing so also lead to new results pertaining to the `classical' situation in >= 2+1 dimensions. The larger part of this work is concerned with massive models which satisfy the split property for wedges (SPW). In Chapter 3 we prove in a model independent way that nets of local observables, which satisfy Haag duality and the SPW in the vacuum representation, are quite rigid. They permit neither nontrivial DHR sectors nor representations which are equivalent to the vacuum upon restriction to wedge regions. Furthermore, Haag duality holds in all irreducible locally normal representations. These results are applied to soliton sectors, which by the above are the only remaining representations of physical relevance. In Chapter 4 we start from the well-known phenomenon that in 1+1 dimensions the fixpoint net of a massive theory 2F under the action of an inner symmetry group G violates Haag duality. Using disorder operators we construct a non-local extension 2F of the field net 2F, which is interesting in two respects. Firstly, it allows for an explicit computation of the dual net 2Ad of the fixpoint net 2A. On the other hand, 2F carries an action of Drinfel'd's quantum double D(G) as an inner symmetry. This symmetry, which describes the spacelike commutation relations via the R-matrix, is non-degenerate in the above sense but spontaneously broken. In analogy to Roberts' treatment of spontaneously broken group symmetries, the violation of Haag duality by 2A can be interpreted as a consequence of this spontaneously broken `hidden' symmetry.