Kurzfassung
Die Zustandsdichte eines Systems mit räumlich zufällig
verteilten magnetischen Flüssen ist in den Bandausläufern,
für niedrige Energien, nahezu gleich Null. Um diese Abwesenheit der
Zustände niedriger Energien zu verstehen, haben wir eine
einfache Anordnung eines feldfreien Gebietes im homogenen
Magnetfeld untersucht, weil in diesem Bereich die Zustände
niedriger Energien zu erwarten sind.
Wir betrachten ein Elektron, das innerhalb eines Kreises
vom Radius r0 in der Ebene
mittels eines nicht homogenen magnetischen Feldes, das für
r<r0 B = 0 und B=B ez sonst ist, eingeschlossen wird.
Dieses System ist klassisch integrabel und die
Schrödingergleichung kann analytisch gelöst werden.
Der wesentliche Unterschied zum Potentialtopf liegt in der
Symmetrieklasse.
Während im magnetischen Topf die
Zeitumkehrinvarianz gebrochen ist, bleibt sie
im Potentialtopf erhalten.
Die Eigenenergien sind für positive Drehimpulse
erniedrigt, für negative erhöht im Vergleich zu den
Landauniveaus( r0=0). Die Verteilung der
Energieniveauabstände entspricht der Poisson-Verteilung, wie erwartet
für ein klassisch integrables System.
Chaotische Bewegung wird durch zwei zusätzliche kreisförmige
Flüsse bei r =+/- (r0/2) er vom Radius rf,
in denen B=B ez gilt, induziert.
Für rf < r0/2 erhalten wir in der klassischen Mechanik
ein gemischtes System, sowohl chaotische als auch reguläre
Bewegungen sind möglich. Da die Bewegung im Topf von der Richtung der
Geschwindigkeit, dem Drehimpuls und vom Zyklotronradius abhängt, ist eine
Abbildung auf ein Kreisbilliard mit fluktuierenden
Wänden möglich. Das System hat keine Zeitumkehrinvarianz T,
es ist aber unter anti-unitärer Transformation T Sy
invariant (Sy ist die Spiegelsymmetrie).
Das klassisch nicht-integrable System kann quantenmechanisch
nicht analytisch behandelt werden. Wir haben das Spektrum
numerisch berechnet.
Die Verteilung der Energieniveauabstände verhält sich wie die der
Gaußschen orthogonalen Gesamtheit, wie erwartet für ein System
mit anti-unitärer Symmetrie.
Einige Eigenzustände zeigen im Koordinatenraum eine hohe
Wahrscheinlichkeit in der Nähe von klassisch periodischen
Trajektorien, ähnlich zu "`scars"'("`Narben"') in gewöhnlichen
Billiardsystemen. Dagegen gibt es andere, die völlig
zufällig verteilte Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Raum
haben, "`chaotische"' Zustände. Die semiklassische
Husimi--Funktion, eine Art von Phasenraumdarstellung der
Zustände, ist für "`scars"' im regulären Bereich des
klassischen Phasenraumes, für "`chaotische"' Zustände im
chaotischen See lokalisiert.
The density of states of a system with randomly distributed magnetic fluxes is in the band tails, for small energies approximately zero. In order to unterstand the absence of states small energies, we have considered a simply arragement of a fieldfree region in homogeneous magnetic field, because these states are expected to be localised in such fieldfree regions. We consider an electron moving in the (r,\phi)-plain under the influence of a perpendicular magnetic field in the z-direction, which is non-zero except within a cylinder of the radius r0. The classical treatment leads to the result that the system is integrable and the Schrödinger equation can be solved analytically. The main difference to a potential square wall is the symmetry class. In a magnetic quantum dot is the time reversal symmetry broken, in a system with potential square wall is it not. The eigenenergies are for positive and negative angular momenta decreased and increased, respectively, as compared to the Landau levels (r0=0). The distribution of energy level spacings is Poissonian, as expected for a classically integrable system. Classically chaotic motion is induced by two additional magnetic fluxes of radius rf by r =+/- (r0/2) er, where B=B ez. For rf < r0/2 we get in the classical treatment a mixed system, both regular and chaotic motions are possible. The shifted reflexion of the electron in the dot is dependent of the cyclotron radius and of the direction of the velocity of the electron. It is possible to map this system on a circular billiard with fluctuating walls. The system has no time reversal symmetry T, but it invariant under the anti-unitary transformation T Sy. (Sy is the mirror symmetry.) The classically non integrable system can not be analytically solved in the quantum mechanical treatment. We have calculated the spectrum numerically. The distribution of the nearest neighbour level spacings shows the behavior of Gaussian orthogonal ensamble, as expected for a system with anti-unitary symmetry. Some of the states show in the coordinate space high probability distribution near of classically periodic orbits, similar to "'scars"' in usual billiard systems. On the other hand, there exist also states with randomly distributed probablity in coordinate space. The semiclassical Husimifunction, a phase space picture of the state, is for "'regular"' states in the regular region of classical phase space localised, for "'chaotic"' states in the chaotic sea of the classical phase space.