Kurzfassung
In dieser Arbeit wird eine selbst-konsistente Methode zur Berechnung von
Renormierungsgruppen-Flüssen
von Gitterfeldtheorien vorgestellt. Die Wirkung wird derart vereinfacht, daß der Fluß eine
einfache Parametrisierung erhält. Höhere Ableitungen des Feldes werden in der Wirkung
vernachlässigt, aber es wird keine polynomiale Approximation bezüglich des Feldes angewandt.
In jedem Schritt wird die Integration über das Fluktuationsfeld (hochfrequente Anteile des Feldes)
durch eine Sattelpunktsmethode ausgeführt, wobei der Sattelpunkt vom Blockspin abhängt.
Eine numerische Umsetzung der Methode auf dem Gitter erlaubt es uns den resultierenden Fluß mit
anderen Methoden zu vergleichen.
Da es für bestimmte Modelle sein kann, daß diese Methode nicht genau genug ist, diskutieren
wir eine Verbesserung. Dabei wird der Sattelpunktsmethode eine selbstkonsistente Normalordnung
vorgelagert.
Als eine Alternative bestimmen wir den Renormierungsgruppenfluß durch eine Störungsentwicklung
des effektiven Potentials. Die Entwicklung wird durch die Ordnung des Fluktuationspropagators
bestimmt.
Im letzten Teil werden numerische Resultate vorgestellt und verglichen. Außerdem bestimmen wir die
kritische Linie mit der Hilfe der selbstkonsistenten Sattelpunktsmethode.
In dieser Arbeit behandeln wir skalare Feldtheorien als ein Beispiel. Die grundlegenden
Gültigkeitsgrenzen der
Methoden werden auch diskutiert. Sie werden durch mögliche Instabilitäten verursacht, die
auftreten könnnen, wenn z.B. ein zusammengesetztes Blockspinfeld nötig wäre.
We present a self-consistent method for the calculation of renormalization group flows in lattice field theory. The truncation of the action is done in a way that the flow preserves a simple parameterization of the action. Higher powers of derivatives of the field are neglected in the actions, but no polynomial approximation in the field is made. In each step, the integration over the fluctuation field (high frequency components of the field) is performed by a saddle point method where the saddle point depends on the block-spin. A numerical implementation of the method on the lattice allows us to compare the resulting flow with other techniques. Because this method may not be accurate enough for certain models we discuss an improvement of the method where the saddle point approximation is preceded by self-consistent normal ordering. As an alternative we determine the renormalization group flow by a perturbative expansion of the effective potential. The expansion is given in orders of the fluctuation propagator. In the last part numerical results are presented and compared. Also we determine the critical line with the help of the self-consistent saddle point approximation. In this paper we treat scalar field theories as an example. The basic limitations of the methods are also discussed. They come from a possible breakdown of stability which may occur e.g. when a composite block-spin would be needed.