Kurzfassung
In dieser Arbeit wird ein neuer
Zugang zur Analyse des Kurzabstandsverhaltens in der
algebraischen Quantenfeldtheorie auf gekrümmten Raumzeiten
vorgeschlagen. Dieser Zugang basiert auf dem neuen Konzept
einer Skalenalgebra, die jeder algebraisch formulierten
Quantenfeldtheorie in kanonischer Art zugeordnet werden kann,
und die als eine abstrakte Form von
Renormierungsgruppen-Transformationen
betrachtet werden soll. Dieses Konzept wurde vor Kurzem
in einer gemeinsamen Arbeit von D. Buchholz und dem Verfasser
der vorliegenden Dissertation für gegebene Theorien auf
der flachen Minkowski-Raumzeit eingeführt ([BV95]). In dieser Arbeit
wird es für Quantenfeldtheorien auf allgemeinen, gekrümmten
Raumzeiten verallgemeinert.
Im Rahmen des Skalenalgebren-Zugangs besitzt jeder Zustand
einer algebraischen Quantenfeldtheorie auf einer gegebenen
Raumzeit-Mannigfaltigkeit an jedem Raumzeit-Punkt
Kurzabstands-Limiten, die möglicherweise nicht eindeutig sind
und dahingehend klassifiziert werden können, ob sie von klassischer
oder quantenphysikalischer Art sind. Die Struktur dieser
Skalenlimiten ist charakteristisch für das
dynamische Kurzabstandsverhalten
der unterliegenden Quantenfeldtheorie in der Nähe des
gewählten Raumzeit-Punktes. Der Skalenalgebren-Zugang erlaubt,
ohne die Benutzung des Begriffs eines Quantenfeldes (Wightman-Feld),
eine Formulierung des Prinzips der lokalen Stabilität,
das als ein Auswahlkriterium für physikalische Zustände
von Quantenfeldtheorien auf einer gekrümmten Raumzeit dienen
kann. Außerdem wird folgendes gezeigt:
Wenn es für einen gegebenen Zustand auf einem Netz von
lokalen Observablen-Algebren einen quantenphysikalischen
Skalenlimes gibt, der das Prinzip der lokalen Stabilität
erfüllt, dann sind die lokalen von Neumann Algebren
in der Darstellung dieses Zustands vom Typ III1.
Diese Konzepte werden am Beispiel des Dirac-Feldes auf einer
global hyperbolischen Raumzeit illustriert. Hierbei ergibt sich,
daß die Skalenlimiten der quasifreien Hadamard Zustände
(auf einer reduzierten, polynomialen Skalenalgebra)
äquivalent sind zum Vakuum des freien, masselosen
Dirac-Feldes auf der flachen Minkowski-Raumzeit; sie sind
somit quantenphysikalische Skalenlimiten, die das Prinzip der
lokalen Stabilität erfüllen.
In this work, a new approach to the short distance analysis for algebraic quantum field theory over curved spacetimes is proposed. It is based on the novel concept of a scaling algebra that can be canonically associated with any given quantum field theory in algebraic formulation and which is to be viewed as an abstract form of renormalization group transformations. This concept has recently been introduced in a joint work by D. Buchholz and the author of the present thesis for given theories on flat Minkowski spacetime ([BV95]). In this work, it will be generalized to quantum field theories over generic curved spacetimes. Within the scaling algebra framework, every state of an algebraic quantum field theory over a given spacetime manifold possesses, at each spacetime point, short distance scaling limits which are possibly non-unique, and can be classified according to whether they are of classical or quantum nature. The structure of these scaling limits is characteristic of the short distance behaviour of the dynamics of the underlying quantum field theory near the chosen spacetime point. The scaling algebra framework allows, independently of the notion of a quantum field (Wightman-field), a formulation of the principle of local stability, which may serve as a selection criterion for physical states of quantum field theories in a curved spacetime. Moreover, the following is proved: If for a given state of a net of observable algebras there are quantum scaling limits fulfilling local stability, then the local von Neumann algebras of the underlying theory in the representation of that state are of type III1. Theses concepts will be illustrated by the example of the Dirac field over a globally hyperbolic spacetime. Here, the scaling limits of the quasifree Hadamard states (on a reduced, polynomial scaling algebra) are found to be equivalent to the vacuum of the free, massless Dirac field on flat Minkowski-spacetime; thus they are quantum scaling limits fulfilling local stability.
Scaling algebras and renormalization group in algebraic quantum field theory. [ Rev. Math. Phys. (1995) 1195 ]