Kurzfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir die Erweiterung der Renormierungsgruppen
(RG)-Methode auf selbst-organisiert kritische Systeme. Wir beschränken uns
auf extremale Modelle, in denen nur der Gitterpunkt (und seine rechten/linken
Nachbarn) eine zeitliche Änderung pro Zeitschritt erfährt, dessen Wert
extremal ist, d.h. der ein Minimum oder ein Maximum unter allen Gitterpunkten
annimmt. Im RG-Zugang kommt es darauf an, die relevanten makroskopischen
Variablen zu finden, die das System auf einer gröberen Skala beschreiben.
Damit zusammenhängend ist eine makroskopische Dynamik zu finden, die aus den
mikroskopischen Zusammenhängen der Variablen auf der feineren Skala erwächst
(Blockverfahren). Um einen erfolgreichen Renormierungsgruppen-Ansatz zu
entwickeln, fordern wir die Kommutativität des Blockverfahrens als ein
wesentliches Element.
Wir erörtern den Zusammenhang zwischen gewöhnlichen und selbst-organisiert kritischen Systemen, insbesondere die Frage nach einem Mechanismus, der ein gewöhnliches kritisches System in ein selbst-organisiert kritisches System verwandelt. Im Hinblick auf unsere Anwendung eines RG-Zugangs auf ein Modell biologischer Evolution führen wir kurz in die biologischen Aspekte ein und geben einen Überblick über bisherige Arbeiten auf diesem Gebiet.
Anhand des Bak-Sneppen (BS) Modells für biologische Evolution entwickeln wir eine neue Technik um einen kürzlich vorgeschlagenen RG-Zugang zu verwirklichen. Damit gelingt es uns, frühere Ergebnisse zu verbessern und zu korrigieren. Darüberhinaus beschleunigt die neue Methode die RG-Iteration um wenigstens eine Grössenordnung. Wir berechnen semi-analytisch die kritischen Exponenten des räumlichen und zeitlichen Skalenverhaltens der Lawinengrössen. Die Ergebnisse stimmen mit numerischen Studien auf 4% überein. Ferner haben wir sehr genaue numerische Simulationen für das isotrope BS-Modell durchgeführt und gute Übereinstimmung mit anderen Messungen neuerer Arbeiten festgestellt.
Die Anwendung der neuen Renormierungsgruppen-Methode auf das verwandte Phänomen von Grenzflächen in ungeordneten Medien wird diskutiert. Wir beschreiben das physikalische Problem, ein Blockverfahren zu definieren, das die Kommutativität respektiert. Jenseits dieses Problems stellen wir ein Verfahren zur Verfügung mit dem ein RG-Zugang realisiert werden könnte.
Wir analysieren ein kürzlich vorgeschlagenes ökonomisches Modell im Hinblick auf seinen SOC-Charakter. Obwohl es viele Eigenschaften von SOC-Modellen aufweist, ist es wahrscheinlich nicht selbst-organisiert kritisch. Wir untersuchen seine Beziehungen zu q-Zustands-Spinmodellen und betrachten ein einfaches Spielzeugmodell, das auf diesem Zusammenhang beruht, mit dem Ziel ein selbst-organisiert kritisches Modell zu konstruieren.
In this paper we investigate the extension of the renormalization group (RG) method to self-organized critical (SOC) systems. We restrict ourselves to extremal models in which only one site (and its right/left neighbors), whose value is extremal, i.e. represents the minimum or maximum among all sites, evolves per time step. In the RG-approach one has to find the relevant macroscopic variables which describe the system on a coarser scale and the corresponding coarser dynamics obtained from the relations of the variables on the fine scale in a self-consistent way (blocking scheme). To design a successful renormalization group approach we postulate the commutativity of such a blocking scheme as an essential ingredient.
We discuss the correspondence of ordinary critical systems and self-organized critical systems, especially the question of a mechanism turning an ordinary critical system into a self-organized one. In view of our application of a RG-approach to a model of biological evolution, we give an introduction concerning the more biological aspects and review some work done in this field.
Using the example of the Bak-Sneppen (BS) model of biological evolution we develop a new technique to realize a recently proposed RG-approach for extremal models. Thereby we are able to improve and correct previous results. Moreover our new method speeds up the performance of the RG-iteration at least one order of magnitude. We calculate semi-analytical the critical exponents describing spatial and temporal avalanche scaling in the BS-model. The results coincide up to 4% with numerical studies. In addition we perform high precision numerical simulations for the isotropic BS-model and obtain good coincidence with the measurements of other recent publications.
The application of the new renormalization group method to the related phenomenon of interfaces in disordered media is discussed. We isolate the physical problem of how to define a blocking procedure respecting commutativity. Beyond this problem, we provide a scheme within which a RG-approach could be performed in principle.
We analyze a recently proposed model of an economic system with respect to its SOC-character. Though it contains many features common to SOC-models, it is probably not self-organized critical. We studied its connections to q-state spin models and consider a simple toy model based on this correspondence, aiming at construction of a self-organized critical model.