Michael Bartels , Dissertation, Fachbereich Physik der Universität Hamburg, 2000
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In dieser Arbeit wird die effektive Wirkung für das nichtlineare s-Modell in zwei Dimensionen in einer Einschleifennäherung berechnet. Ausgangspunkt ist die Standarddiskretisierung der Kontinuumswirkung. Zwei Methoden zur Ausintegration des Hochfrequenzfeldes werden diskutiert.
Die erste geht auf Polyakov zurück. Sie erlaubt eine einfache Herleitungdes Ergebnisses für die gleitende Kopplungskonstante. Ihr Nachteil ist ein komplizierter Propagatorfür das Hochfrequenzfeld,dessen Feldabhängigkeit sich nicht einfach entwickeln läßt.
Die andere Möglichkeit die Integration auszuführenist die Erweiterung das Fluktuationsfeldes auf den ganzen Raum RN +1. Dies beseitigt die Beschränkung für das Hochfrequenzfeld,während die Entwicklung des Propagators möglich bleibt. Allerdings ist eine erweiterte Wirkung zu untersuchen. Ein analytischer Ausdruck für die effektive Wirkung wird angegeben.Er enthält einen echten Einschleifenbeitrag. Polyakovs Ergebnis kann aber zu führender Ordnung extrahiert werden.
Obwohl der analytische Ausdruck für die effektive Wirkungdurch ein Hintergrundfeld durchschaubar dargestellt werden kann,benötigen numerische Untersuchungen eine Darstellung in Abhängigkeit von dem Blockspinfeld. Deshalb wird eine erste Näherung für das Hintergrundfeld konstruiert, und es wird eine rekursive Verbesserung der Näherung vorgeschlagen.
Ein Gauß'scher Blockspin wird ebenfalls untersucht.Dieser erlaubt es, die Lokalität der effektiven Wirkung zu verbessern.
Starting from the standard discretizationof the action of the nonlinear s-model in two dimensionswe compute the Wilson effective action on a coarse latticein a one loop approximation. Two methods are considered for the integrationover the constrained fluctuation field.
The first one was proposed by Polyakov. It allows a straightforward extraction of the result for the running coupling constant. The drawback is a rather involved propagator for the high frequency field. This prevents a transparent extraction of its field dependence.
The other way to perform the integrationis the extension of the fluctuation fieldto the whole RN +1. This eliminates the constraint on the fluctuation fieldwhile keeping the expansion of the propagator manageable,but one has to scrutinize an extended action. An explicit form of the effective action is given. It contains a genuine one loop contribution. Polyakov's result can still be recovered to leading order.
Although the analytical form of the effective action is transparently expressed in terms of the background field,numerical investigations require an explicit dependence on the block spin. Therefore a first approximation of the background field is given,and an iterative procedure is suggested to improve itsproperties.
A Gaussian block spin is also considered. It allows to improve the locality properties of the effective action.