Klaus Peter Weitz, Dissertation, Fachbereich Physik der Universität Hamburg, 1999 :
In der vorliegenden Arbeit wurde mit Hilfe eines Tieftemperatur- Raster-Kraft-Mikroskops (RKM) der Potentialverlauf der Hall-Spannung eines zweidimensionalen Elektronensystems (2DES) im Bereich des Quanten-Hall-Effekts ortsaufgelöst gemessen. Hierfür wurde ein Tieftemperatur-RKM aufgebaut und in einen Kryostaten mit einem supraleitenden Magneten integriert (B rm max=13/15 T bei T=4.2/2.2 K). Der Rasterbereich des RKMs beträgt 20 µ m * 20 µ m bei der Betriebstemperatur von T= 1.3 K. Ein integrierter Tieftemperatur-Verschiebetisch, der einen Verfahrweg von 5 mm in allen drei Raumrichtungen besitzt, ermöglicht eine unkomplizierte Justage der Probe gegenüber der RKM-Spitze. Um die Probe nicht ungewollt zu beleuchten, wurden piezoresistive RKM-Hebel aus Silizium eingesetzt; die RKM-Spitze selbst ist mit Metall beschichtet, um eine zusätzliche Kraftwirkung aufgrund der sich mit dem Magnetfeld ändernden Austrittsarbeit des Spitzenmaterials zu unterdrücken. Das RKM befindet sich in einer Vakuumkammer, in der sich etwas Helium-Austauschgas zwecks einer verbesserten thermischen Kopplung an das T= 1.3 K kalte Helium-Bad befindet. Mit Hilfe der KPFM-Methode (Englisch: Kelvin Probe Force Microscope) konnte die Veränderung des chemischen Potentials eines 2DES in Abhängigkeit des Magnetfeldes beobachtet werden. Diese Messungen stimmen sehr gut mit der erwarteten Entvölkerung der Landau-Niveaus mit steigendem Magnetfeld überein. Zur Messung des Potentialverlaufs der Hall-Spannung wurde eine niederfrequente Meßtechnik entwickelt, die eine Ortsauflösung von weniger als 100 nm besitzt. Eine Modulation der Spannung zwischen RKM-Spitze und 2DES erzwingt eine Verschiebung der Resonanzfrequenz des mechanisch zum Schwingen angeregten RKM-Hebels. Diese induzierte Resonanzfrequenzverschiebung ist proportional zur Amplitude der Modulationsspannung; die Proportionalitätskonstante hingegen ist unbekannt und abhängig von der Position der RKM-Spitze. Diese Proportionalitätskonstante kann jedoch für jeden Ort in einer Eichmessung bestimmt werden, bei der eine bekannte Modulationsamplitude an alle Probenkontakte gelegt wird. Anschließend wird die Modulationsspannung nur an einen Probenkontakt gelegt, während die anderen geerdet sind, so daß der durch die Probe fließende Strom die Hall-Spannung aufbaut. Die in diesem Fall gemessenen induzierten Resonanzfrequenzverschiebungen können mit Hilfe des Ergebnisses der Eichmessung in den gesuchten normierten Potentialverlauf der Hall-Spannung umgerechnet werden. Die durchgeführten Potentialmessungen zeigen folgende Ergebnisse: Im Magnetfeldbereich zwischen zwei Quanten-Hall-Plateaus wird der Potentialverlauf durch die elektrostatischen Eigenschaften der inkompressiblen Streifen am Probenrand bestimmt. Sind diese Streifen sehr schmal (n< 2), fällt das Potential linear über die Probe ab. Mit zunehmender Breite entkoppeln diese isolierenden inkompressiblen Streifen den Probenrand vom mittleren Probenbereich und ein Großteil des Potentials fällt über die inkompressiblen Streifen ab. Im Extremfall (n \approx 2.2) stellt der mittlere Probenbereich eine Äquipotentialfläche dar, die vermutlich stromlos ist. Bei ganzzahligen Füllfaktoren bestimmen Probeninhomogenitäten den Potentialverlauf. Eine eingebrachte Inhomogenität des 2DES 10 µm vom Rasterbereich entfernt verändert den Potentialverlauf von einem fast linearen Verhalten zu einem Potentialabfall am äußersten Probenrand. Dies bedeutet, daß nicht nur Probeneigenschaften im Bereich der Rasterlinie wichtig sind, sondern auch die Bereiche, die die Elektronen auf ihrem Weg zur Rasterlinie durchqueren. Bei einer ungestörten Probe fällt das Potential vorzugsweise im ``Bulk'' der Probe ab. In Abhängigkeit des Magnetfeldes und der Stromdichte ergeben sich Potentialverläufe zwischen einem fast linearen und einem nichtmonotonen Verhalten.
In this work a low-temperature scanning force microscope (SFM) has been used in order to probe the Hall potential profile across a two-dimensional electron system (2DES) under Quantum-Hall conditions. To achieve this, a low-temperature SFM has been built and integrated into a cryostat with a superconducting magnet (B rm max = 13/15 T at T=4.2/2.2 K). The scan range of the SFM is 20 µ m * 20 µ m at its operation temperature of T=1.3 K. A low-temperature moving stage has been included to enable an easy adjustment of the SFM-tip above the sample. To avoid the exposure of the sample to light, the SFM operates with piezo-resistive cantilevers (out of Silicon) in contrast to the more conventional optical detection methods. The SFM-tip is coated with metal to minimise the effect of an additional electrostatic force due to the change of the workfunction of the SFM-tip material with magnetic field. The SFM is mounted into a vacuum chamber containing a small amount of helium exchange gas for a better thermal coupling to the liquid helium bath of T=1.3 K. The KPFM-method (Kelvin Probe Force Microscopy) has been applied to study the variations of the chemical potential of the 2DES with magnetic field. The obtained results agree very well with the expected depopulation of Landau-levels with increasing magnetic field. To probe the Hall-potential profile, a low frequency measurement technique has been developed, with a spatial resolution of less than 100 nm. A modulation voltage (f=3.4 Hz) is applied between SFM-tip and sample, inducing a shift of the resonance frequency of the mechanically exited oscillating cantilever. This induced frequency shift is proportional to the amplitude of the modulation voltage, whereas the proportionality factor itself is unknown and depends on the position of the SFM-tip. By applying a known modulation voltage to all contacts of the sample simultaneously, this proportionality factor is obtained for all positions of the SFM-tip. In a second step the modulation voltage is only applied to one contact, while the others are grounded, leading to a current flow through the sample and therefore to an arising Hall-voltage. Using the above determined proportional constant the measured induced frequency shifts can be converted into the sought normalised potential profile of the Hall-voltage. The obtained results for the potential profile are as follows: In the magnetic field regime between Quantum-Hall plateaus the electrical properties of the incompressible strips at the edge of the sample strongly affect the potential profile. With small incompressible strips (n<2) the potential drops linearly over the sample. With increasing width of these incompressible strips, the outer edge region starts to decouple from the bulk. A large part of the potential drops over these incompressible regions. In extreme cases (e. g. n \approx 2.2) there is no potential drop (and therefore presumably no current) in the bulk. At integer filling factors sample inhomogenities determine the potential profile. A generated inhomogeneous region 10 µm away from the position of the scanned area changes the potential profile from rather linear to a potential drop at the outer edge of the sample. This shows that not only the sample properties at the position of the scanned area are important, but also the characteristics of areas, the electrons pass by on there way to the scanned area. An undisturbed sample shows a preferable potential drop in the bulk, which may turn in dependence of the magnetic field and the current density from an almost linear to a non-monotonic profile.