Kurzfassung
Die Festkörperphysik und die Quantenelektrodynamik (QED) werden gewöhnlicherweise als zwei getrennte Forschungsdisziplinen erachtet. Auf Grund von beachtlichen Fortschritten in der Hohlraum-QED Materialforschung ändert sich diese Sichtweise jedoch langsam. In dieser Arbeit wollen wir zur Verbindung dieser beiden Forschungsdisziplinen beitragen, indem wir fundamentale theoretische Konzepte der beiden Bereiche vereinheitlichen. Im ersten Teil dieser Dissertation wird als Grundlage die nicht-relativistische QED eingeführt und verschiedene Arten von Licht-Materie-Wechselwirkung und Eichtransformationen diskutiert. In diesem Kontext zeigen wir, dass die Vernachlässigung gewisser Wechselwirkungsterme zu unphysikalischen Instabilitäten in der QED führt. Im zweiten Teil präsentieren wir eine Erweiterung der Sommerfeld-Theorie des freien Elektronengases, welche eine paradigmatische Theorie der Festkörperphysik ist, für Hohlraum-QED. Die resultierende Hamilton-Gleichung des gekoppelten Licht-Materie-System ist analytisch lösbar und wir können zeigen, dass das Photonfeld die optische Leitfähigkeit des Elektronengases modifiziert sowie den Drude Peak verkleinert. Aufbauend auf den analytischen Lösungen wird eine effektive Quantenfeldtheorie konstruiert, welche zu einer Vielteilchen-Massenrenormierung führt und die fermionischen Anregungen der Quasi-Teilchen der Fermi-Flüssigkeits-Theorie modifiziert. Im letzten Teil der Arbeit stellen wir die durch homogene Magnetfelder gebrochene Translationsinvarianz periodischer Festkörper mittels der QED wieder her. Dies führt zu einer Verallgemeinerung der Bloch-Theorie, welche wir als QED-Bloch-Theorie bezeichnen. Mit Hilfe der QED-Bloch-Theorie können periodische Festkörper in homogenen Magnetfeldern beschrieben werden, die zugleich an das quantisierte Photonfeld koppeln. Als erste Anwendung unserer Theorie untersuchen wir Landau-Zustände, die stark an einem Photonfeld gekoppelt sind. Wir zeigen, dass auf Grund der Wechselwirkung der Landau-Zustände mit den Photonen neue Quasi-Teilchen (Landau-Polaritonen) entstehen. Die Theorie sagt voraus, dass für periodische Festkörper unter diesen Bedingungen fraktale polaritonische Energie-Spektra entstehen, die fraktalen Polaritonen. Diese stellen ein polaritonisches QED-Analogon zum ``Hofstadter-Butterfly' dar. Konsistenterweise erhält man im klassischen Grenzfall die wohlbekannten Landau-Zustände sowie das fraktale Spektrum vom Hofstadter-Butterfly. In diesem Fall dient die QED-Bloch-Theorie zur Beschreibung von periodisch angeordneten Materialien in starken Magnetfeldern.
Condensed matter physics and quantum electrodynamics (QED) have been long considered as distinct disciplines. This situation is changing rapidly by the progress in the field of cavity QED materials. Motivated by these advances we aim to bridge these fields by merging fundamental concepts coming from both sides. In the first part of the thesis we present how non-relativistic QED can be constructed and we discuss different forms of light-matter interaction in different gauges and that neglecting particular quadratic terms can lead to instabilities for the QED Hamiltonian. In the second part of the thesis we revisit the Sommerfeld model of the free electron gas in cavity QED and provide the exact analytic solution for this paradigmatic condensed matter system coupled to the cavity. We show that the cavity field modifies the optical conductivity of the electron gas and suppresses its Drude peak. Further, by constructing an effective field theory in the continuum of photon modes we show how the photon field leads to a many-body renormalization of the electron mass, which modifies the fermionic quasiparticle excitations of the Fermi liquid. In the last part of the thesis we show that translational symmetry for periodic materials in homogeneous magnetic fields can be restored by embedding the problem into QED. This leads to a generalization of Bloch's theory for electron-photon systems, that we named as QED-Bloch theory, which can be applied for the description of periodic materials in homogeneous magnetic fields and strongly coupled to the quantized cavity field. As a first application of our theory we consider Landau levels coupled to a cavity and we show that quasi-particle excitations between Landau levels and photons appear, called Landau polaritons. Further, for periodic materials in such setups, QED-Bloch theory predicts the emergence of novel fractal polaritonic energy spectra, which we name as fractal polaritons. The fractal polaritons are a polaritonic, QED analogue of the Hofstadter butterfly. In the limit of no cavity confinement, QED-Bloch theory recovers both the well-known Landau levels and the fractal spectrum of the Hofstadter butterfly, and can be applied for the description of periodic materials in strong magnetic fields.