Kurzfassung
Um mikroskopische Prozesse in quantenmechanischen Vielteilchensystemen richtig zu verstehen, benötigt man eine ab-initio Beschreibung, welche insbesondere den Einfluss sowohl von Korrelationen als auch der Dimensionalität berücksichtigt.
Es ist jedoch sehr anspruchsvoll einen solchen ab-initio Algorithmus zu entwickeln, der nicht dramatisch von der verfügbaren Rechenleistung abhängt.
Deshalb beschränken sich die meisten der gängigen Methoden auf eine der beiden Problemstellungen.
Trotzdem nehmen wir in dieser Arbeit diese Herausforderung an, indem wir einen hoch-optimierten Algorithmus entwickeln, der sowohl Korrelationen als auch Systeme im Übergang zwischen unterschiedlicher räumlicher Dimensionalität numerisch auflösen kann.
Wir zeigen die Effizienz unseres Algorithmus, indem wir interagierende, bosonische Ensembles im Übergang von drei zu einer räumlichen Dimension simulieren.
Dabei verwenden wir die Herangehensweise der ab-initio Multi-Configuration Time-Dependent Hartree Methode für Bosonen (MCTDHB) [PRL 77, 033613 (2008)], welche den exponentiellen Anstieg der numerischen Komplexität in Bezug auf die Teilchenanzahl optimal handhabt.
Dabei treten jedoch weitere Herausforderungen auf, bei dem Versuch Wechselwirkungspotentiale in drei Dimensionen zu modellieren.
Um das geeignetste Wechselwirkungspotential zu finden, diskutieren wir unterschiedliche Implementierungen von Kontaktwechselwirkungen wie auch Wechselwirkungen mit endlicher Reichweite und bewerten diese Potentiale in Bezug auf die folgenden Fähigkeiten:
(i) Korrelationen richtig aufzulösen,
(ii) einen numerisch effizienten Algorithmus mit annehmbaren Rechenlaufzeiten für Desktop-Computer zu ermöglichen und
(iii) numerische Artefakte zu minimieren, die von eventuellen Approximationen herrühren könnten.
Wir zeigen, dass rein abstoßende Wechselwirkungspotentiale mit endlicher Reichweite, welche zusätzlich in den Dimensionen separieren, am besten für eine effiziente Implementierung geeignet sind.
Dennoch stellen solche Wechselwirkungspotentiale numerische eine Herausforderung dar, weil sie eine kleine Längenskala im System induzieren, welche numerisch aufgelöst werden muss, sodass viele Gitterpunkte rechentechnisch gehandhabt werden müssen.
Wir begegnen dieser Herausforderung, indem wir einen effizienten Algorithmus entwickeln, der für viele Gitterpunkte ausgelegt ist, basierend auf einer Multi-Layer Methode für MCTDHB.
Dabei verwenden wir einen maßgeschneiderten Ansatz für die Mehrteilchen-Wellenfunktion und leiten spezielle Bewegungsgleichungen mit Hilfe des Dirak-Frenkel-Variations-Prinzip her.
Die Implementierung der Bewegungsgleichungen wurde stark optimiert, unter anderem, durch Parallelisierung des Programmes.
Mit unserem neuen Ansatz erreichen wir, dass die Gesamtzahl der Gitterpunkte linear bezüglich der Dimensionen skaliert und nicht exponentiell wie z. B. in der MCTDHB Methode.
Der entwickelte Algorithmus wurde mit analytischen Ergebnissen und anderen gängigen Methoden in der Literatur verglichen.
Wir verwenden das vorteilhafte Skalierungsverhalten, um den Einfluss der Dimensionen auf ein bosonisches Ensemble zu untersuchen, induziert durch unterschiedliche Fallengeometrien.
Dies erreichen wir, indem wir das Fallenfrequenzverhältnis, definiert aus dem Quotienten der transversalen zur longitudinalen Fallenfrequenz, kontinuierlich von einer isotropen Falle zu einer zigarrenförmigen Falle verändern.
Uns interessiert besonders der Einfluss und das Zusammenspiel von Teilchen- und räumlichen Korrelationen.
Wir untersuchen dabei die folgenden drei Systeme:
(i) Zwei interagierende Bosonen befinden sich in einer dreidimensionalen, harmonischen Falle mit variablem Fallenfrequenzverhältnis.
Dieses System dient als Prototyp, um geeignete numerische sowie physikalische Parameter zu finden, und erlaubt die Zeitskala auf der Teilchen- und räumliche Korrelationen erzeugt werden zu studieren.
Des Weiteren untersuchen wir das Konvergenzverhalten und die natürlichen Populationen, welche in drei Dimensionen einen algebraischen Abfall aufweisen.
(ii) Ein bosonisches Ensemble tunnelt zwischen zwei Potentialtöpfen, welche in longitudinaler Richtung in einer länglich ausgedehnten harmonischen Falle eingebettet sind.
Wir zeigen, dass man mindestens zwei transversale Moden benötigt, um das zeitabhängige Dichteprofil richtig wiederzugeben.
Außerdem untersuchen wir den Einfluss der Dimensionen auf die zeitliche Entwicklung des Ungleichgewichts der Besetzungsverteilung. Zusätzlich studieren wir die Gültigkeit unterschiedlicher Approximationen der Mehrteilchen-Wellenfunktion, wie zum Beispiel einer Mean-field Näherung oder einer adiabatische Separation bezüglich der räumlichen Dimensionen.
(iii) Ein bosonisches Ensemble, anfänglich in einer harmonischen Falle ausgelenkt, streut an einer zentrierten Barriere.
Wir erforschen unterschiedliche Mechanismen, bezüglich des Verlustes von Kohärenz, was für Atom-Interferometer von zentraler Bedeutung ist.
Dabei finden wir heraus, dass für näherungsweise isotrope Fallen Kohärenz zwischen der Region in der Nähe der Barriere und sowohl links als auch rechts davon verloren geht. Für fast eindimensionale Fallen hingegen erkennen wir, dass sich die Kohärenz zwischen den beiden Dichteanteilen der linken und der rechten Seite der Barriere reduziert.
Der erste Prozess lässt sich mit Hilfe von räumlichen Korrelationen und der zweite mit Hilfe von Teilchenkorrelationen beschreiben.
Des Weiteren ermitteln wir, wie Korrelationen die Oszillation des Massenschwerpunktes modifizieren können.
Interessanterweise werden die obigen Effekte für ganzzahlige Fallenfrequenzverhältnisse verstärkt.
In general, the understanding of microscopic physical processes in many-body systems needs an investigation starting from first principles, especially taking the impact of dimensionality and correlations into account. However, designing numerical ab-initio algorithms, which can handle the dimensional crossover and correlations is a very challenging task and strongly limited with respect to computational power. Because of this, most of the available algorithms in the literature focus on either one of these challenges. In this thesis, nevertheless, we tackle these challenges by designing a highly optimized algorithm taking both all correlations and the dimensional crossover into account and show its efficient application for confined, interacting bosonic ensembles. In doing so, the exponential scaling of complexity w.r.t. the number of particles can be tackled by the ab-initio Multi-Configuration Time-Dependent Hartree methods for Bosons (MCTDHB) [PRL 77, 033613 (2008)]. However, further different challenges occur when trying to model three-dimensional interaction potentials and in order to determine the most feasible interaction potential, we discuss different implementations for zero- as well as finite-range interaction potentials and rate them with respect to (i) the possibility to resolve correlations, (ii) a numerically efficient implementation and acceptable runtimes for desktop computers and (iii) numerically created artifacts due to approximations made. We show that repulsive short-range interaction potentials given as a product with respect to the dimensions are most suited for an implementation. Despite being most suitable, the use of these interaction potentials is highly challenging because they introduce a small length scale and, hence, need large number of grid points in a numerical treatment. We deal with this challenge by developing an efficient algorithm with respect to the number of grid points based on the Multi-Layer MCTDHB (ML-MCTDHB) method for ultracold bosons. In doings so by using a particularly tailored wave function ansatz, we derive equations of motion by using the Dirak-Frenkel variational principle and implement them in a highly optimized way, e.g., using parallel-processing. With our new wave function ansatz, the total numbers of grid point scales linear with the dimensions and not exponential as in the MCTDHB method. The algorithm is validated by comparison with possible analytical results and with other numerical methods available in the literature. The beneficial scaling of our approach is used to study the impact of dimensionality on bosonic ensembles in different trap geometries. This is achieved by changing the trap aspect ratio, defined as the quotient between the transversal and longitudinal trap frequencies, leading to a crossover from a quasi 1D to an isotropic confinement. Especially, we are interested in the interplay between spatial and particle correlations and, thereby, we employ the following three systems. % (i) Two bosons interact in a harmonic trap with various aspect ratios: This system serves as a prototype in order to determine suitable numerical and physical parameters and to study the time scale on which the interaction can induce significant spatial and particle correlations. Furthermore, we study the general convergence behaviour, which indicates an algebraic decay of the natural populations in three dimensions. % (ii) A bosonic ensemble tunnels between two wells separated in the longitudinal direction, which are embedded in an elongated harmonic trap: We show that at least two transversal modes are needed in order to resolve the time-dependent density profile correctly and identify the influence of the dimensionality on the evolution of the population imbalance. In addition, we study the validly of different approximation of the many-body wave function, such as the mean-field approximation or the adiabatic separation of the spatial dimensions. % (iii) A bosonic ensemble, initially displaced from the trap centre, scatters off a barrier, placed in the trap centre: By studying the mechanisms of coherence loss, interesting for matter-wave interferometers, we find that for nearly isotropic traps, loss of coherence occurs between the region close to the barrier and outer regions, due to spatial correlations while for quasi one-dimensional traps incoherences rise between the two density fragments of the left and right side of the barrier, due to particle correlations. Furthermore, we can show how spatial and particle correlations modify the decay of the centre of mass oscillation. All these effects are enhanced if the aspect ratio is integer valued.