Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den Spektren von konformen Sigma Modellen, die auf (verallgemeinerten) symmetrischen Räumen definiert sind. Die Räume, auf denen Sigma Modelle ohne Wess-Zumino-Term konform sind, sind Supermannigfaltigkeiten, also Mannigfaltigkeiten, die fermionische Richtungen aufweisen. Wir stellen die Konstruktion von Vertex Operatoren vor, gefolgt von der Hintergrundfeld-Entwicklung. Für semi-symmetrische Räume berechnen wir anschließend die diagonalen Terme der anomalen Dimensionen dieser Operatoren in führender Ordnung. Das Resultat stimmt mit dem für symmetrische Räume überein, jedoch treten nicht-diagonale Terme auf, die hier nicht weiter betrachtet werden.
Anschließend präsentieren wir eine detaillierte Analyse des Spectrums des Supersphären S^3|2 Sigma Modells. Dies ist eins der einfachsten Beispiele für konforme Sigma Modelle auf symmetrischen Räumen und dient als Illustration für die Mächtigkeit der vorgestellten Methoden. Wir verwenden die erhaltenen Daten, um eine Dualität mit dem OSP(4|2) Gross-Neveu Modell zu untersuchen, die von Candu und Saleur vorgeschlagen wurde. Wir verwenden dazu ein Resultat, welches die anomalen Dimensionen von 1/2BPS Operatoren zu allen Ordnungen berechnet. Wir finden das gesamte Grundzustandsspektrum des Sigma Modells. Darüber hinaus legen wir dar, dass sowohl die Zwangsbedingungen als auch die Bewegungsgleichungen des Sigma Modells korrekt vom Gross-Neveu Modell implementiert werden. Die Dualität wird weiterhin durch ein neues exaktes Resultat für die anomalen Dimensionen der Grundzustände unterstützt. Andererseits beobachten wir für Operatoren mit mehreren Ableitungen Diskrepanzen. Es ist möglich, dass diese Diskrepanzen im Zusammenang mit einer bekannten Instabilität von Sigma Modellen stehen.
Die Instabilität von Sigma Modellen wird von Operatoren mit vielen Ableitungen verursacht, die bei beliebig kleiner Kopplung relevant werden. Diese Eigenschaft wurde bereits vor langer Zeit, zuerst im O(N)-Vektor-Modell, beobachtet. Gross-Neveu Modelle besitzen generisch eine ähnliche Instabilität. Ryu et al. haben beobachtet, dass solche Operatoren in psl(N|N) Gross-Neveu Modellen möglicherweise nicht vorhanden sind. Die Beobachtung wurde für eine bestimmte Klasse von Operatoren in führender Ordnung bestätigt. Wir zeigen analytisch, dass im psl(2|2) Modell in der Tat alle invarianten Operatoren irrelevant bleiben. Darüber hinaus bestimmen wir das Spektrum des BPS-Sektors für unendliche Kopplung. Wir finden keinen Hinweis auf einen Dualität mit dem CP^1|2 Sigma Modell. Wir schließen mit einer Diskussion von marginalen Deformation von Kazama-Suzuki-Modellen.
In this thesis the spectra of conformal sigma models defined on (generalized) symmetric spaces are analysed. The spaces where sigma models are conformal without the addition of a Wess-Zumino term are supermanifolds, in other words spaces that include fermionic directions. After a brief review of the general construction of vertex operators and the background field expansion, we compute the diagonal terms of the one-loop anomalous dimensions of sigma models on semi-symmetric spaces. We find that the results are formally identical to the symmetric case. However, unlike for sigma models on symmetric spaces, off diagonal terms that lead to operator mixing are also present. These are not computed here. We then present a detailed analysis of the one-loop spectrum of the supersphere S^3|2 sigma model as one of the simplest examples. The analysis illustrates the power and simplicity of the construction. We use this data to revisit a duality with the OSP(4|2) Gross-Neveu model that was proposed by Candu and Saleur. With the help of a recent all-loop result for the anomalous dimension of 1/2BPS operators of Gross-Neveu models, we are able to recover the entire zero-mode spectrum of the supersphere model. We also argue that the sigma model constraints and its equations of motion are implemented correctly in the Gross-Neveu model, including the one- loop data. The duality is further supported by a new all-loop result for the anomalous dimension of the ground states of the sigma model. However, higher-gradient operators cannot be completely recovered. It is possible that this discrepancy is related to a known instability of the sigma model. The instability of sigma models is due to symmetry preserving high-gradient operators that become relevant at arbitrarily small values of the coupling. This feature has been observed long ago in one-loop calculations of the O(N)-vector model and soon been realized to be a generic property of sigma models that persists to higher loop orders. A similar instability has been observed for Gross-Neveu models which can be seen as a certain deformation of WZNW models at level k = 1. Recently, Ryu et al. suggested that the psl(N|N) Gross-Neveu models might be free of relevant high-gradient operators. They tested this proposal at one-loop level for a certain class of invariant operators. We extend the result to all invariant operators and all loops for the psl(2|2) Gross-Neveu model. Additionally, we determine the spectrum of the BPS sector at infinite coupling and observe that all scaling weights become half-integer. Evidence for a proposed duality with the CP^1|2 sigma model is not found. We conclude with a brief discussion of marginal deformations of Kazama-Suzuki models.