Kurzfassung
In dieser Dissertation werden exakte Ergebnisse der N = 2 supersymmetrischen Quantenfeldtheorien diskutiert. Wir fokussieren uns hierbei auf eine spezifische Klasse der Quantenfeldtheorien, die in der Literatur als Klasse S-Feldtheorien bezeichnet werden. Für diese Theorien wird die Zustandssumme auf einer deformierten Vier-Sphäre in Anwesenheit von Loop- und Oberflächendefekten betrachtet. Es wird gezeigt, dass in einem Degenerationslimit der Vier-Sphäre diese Zustandssummen mit den Eigenfunktionen der Erhaltungsgrößen in bestimmten quantenintegrierbaren Modellen verwandt sind.
Es wird ein direkter Zusammenhang hergestellt zwischen Parametern, die Eigenfunktionen in den relevanten integrierbaren Modellen klassifizieren, und Ladungskennzeichnungen der Loopdefekten. Zudem bilden wir die Problematik der Klassifizierung der Eigenwerte auf das mathematische Problem der Klassifizierung von sogenannten projektiven Strukturen mit reeller Monodromie ab.
Wir zeigen zahlreiche Kontaktpunkte zwischen der mathematischen Beschreibung dieser projektiven Strukturen und bekannten sowie neuen exakten Ergebnissen zu Klasse S-Feldtheorien. Abgesehen von der Bereitstellung neuer, nicht perturbativer Ergebnisse zu den Theorien der Klasse S kann man aus den hier vorgestellten Ergebnissen weitere bekräftigende Indizien für die S-Dualitäts-Vermutungen erhalten.
The subject of this thesis is exact results on N = 2 supersymmetric quantum field theories. We restrict our attention to a certain class of quantum field theories in the literature referred to as class S. For these theories, we study partition functions on a deformed four-sphere in the presence of extra defect observables called loop and surface operators. In a degeneration limit of the four-sphere, we find that these partition functions are related to the eigenfunctions of the conserved quantities in certain quantum integrable models. We establish a direct correspondence between parameters classifying the eigenfunctions in the relevant integrable models and the charge labels of the loop operators. Furthermore, the problem to classify the eigenvalues is mapped to the mathematical problem of classifying what are called projective structures with real monodromy. We exhibit various points of contact between the mathematical description of these projective structures and known as well as new exact results on class S theories. Apart from providing new non-perturbative results on the theories of class S, one may obtain further support of the S-duality conjectures from the results presented here.