Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit werden zunächst einige Konstruktionen und Resultate in Quantenfeldtheorie auf gekrümmten Raumzeiten, die bisher nur für das Klein-Gordon Feld behandelt und erlangt worden sind, für Dirac Felder verallgemeinert. Es wird im Rahmen des algebraischen Zugangs die erweiterte Algebra der Observablen konstruiert, die insbesondere normalgeordnete Wickpolynome des Diracfeldes enthält. Anschliessend wird ein ausgezeichnetes Element dieser erweiterten Algebra, der Energie-Impuls Tensor, analysiert. Unter Zuhilfenahme ausführlicher Berechnungen der Hadamardkoeffizienten des Diracfeldes wird gezeigt, dass eine lokale, kovariante und kovariant erhaltene Konstruktion des Energie-Impuls Tensors möglich ist. Anschließend wird das Verhältnis der mathematisch fundierten Hadamardregularisierung des Energie-Impuls Tensors mit der mathematisch weniger rigorosen DeWitt-Schwinger Regularisierung verglichen. Man findet, dass die beiden Regularisierungen im wesentlichen äquivalent sind, insbesondere lässt sich die DeWitt-Schwinger Regularisierung mathematisch exakt formulieren. Während die bisher angeführten Resultate auf allgemeinen gekrümmten Raumzeiten gültig sind, werden zusätzliche Untersuchungen auf einer Klasse von flachen Robertson-Walker Raumzeiten, die eine lichtartige Urknallhyperfläche besitzen, angestellt. Mit hilfe holographischer Methoden werden auf solchen Raumzeiten Hadamardzustände für das Klein-Gordon- und Diracfeld konstruiert, die dadurch ausgezeichnet sind, dass sie im Sinne eines Limes zur Urknallhyperfläche asymptotische Gleichgewichtszustände darstellen. Abschließend werden Lösungen der semiklassischen Einsteingleichungen für Quantenfelder mit beliebigem Spin im flachen Robertson-Walker Fall untersucht. Es stellt sich heraus, dass die gefundene Lösungen Supernova Typ Ia Messdaten ebenso gut wie das LCDM Modell erklären. Damit ist eine natürliche Erklärung für dunkle Energie und ein einfaches Modell für kosmologische dunkle Materie gefunden.
In the first instance, the present work is concerned with generalising constructions and results in quantum field theory on curved spacetimes from the well-known case of the Klein-Gordon field to Dirac fields. To this end, the enlarged algebra of observables of the Dirac field is constructed in the algebraic framework. This algebra contains normal-ordered Wick polynomials in particular, and an extended analysis of one of its elements, the stress-energy tensor, is performed. Based on detailed calculations of the Hadamard coefficients of the Dirac field, it is found that a local, covariant, and covariantly conserved construction of the stress-energy tensor is possible. Additionally, the mathematically sound Hadamard regularisation prescription of the stress-energy tensor is compared to the mathematically less rigorous DeWitt-Schwinger regularisation. It is found that both prescriptions are essentially equivalent, particularly, it turns out to be possible to formulate the DeWitt-Schwinger prescription in a well-defined way. While the aforementioned results hold in generic curved spacetimes, particular attention is also devoted to a specific class of Robertson-Walker spacetimes with a lightlike Big Bang hypersurface. Employing holographic methods, Hadamard states for the Klein-Gordon and the Dirac field are constructed. These states are preferred in the sense that they constitute asymptotic equilibrium states in the limit to the Big Bang hypersurface. Finally, solutions of the semiclassical Einstein equation for quantum fields of arbitrary spin are analysed in the flat Robertson-Walker case. One finds that these solutions explain the measured supernova Ia data as good as the LCDM model. Hence, one arrives at a natural explanation of dark energy and a simple quantum model of cosmological dark matter.