Kurzfassung
Die M ̈oglichkeit eine exakte Lösung einer wechselwirkenden Quantenfeldtheorie zu finden ist isoliert betrachtet bereits eine interessante Aussicht, da sie uns unbeschränkte Kontrolle liefert. Sie ermöglicht es Phänomene, die von der Theorie beschrieben werden, sehr präzise zu analysieren. Im Kontext der AdS/CFT-Korrespondenz, die eine Dualität zwischen bestimmten Eich- und Stringtheorien beinhaltet, wurden Theorien untersucht,
über die man eine außergewöhnlich hohe Kontrolle hat, weshalb ein enormes Forschungsinteresse am Finden exakter Lösungen besteht. Insbesondere wurde festgestellt, dass die sogenannte planare N = 4 Super Yang-Mills Theorie, und ihre AdS/CFT-duale Superstringtheorie auf dem AdS_5 × S^5-Hintergrund eine integrable Struktur besitzen. Speziell das Spektralproblem, welches die Suche nach Skalendimensionen von lokalen Operatoren
oder äquivalent die Suche nach Stringenergien der Stringzustände beinhaltet, ist einfach zu handhaben. Nach mehr als einem Jahrzehnt Forschung wurde herausgefunden, dass das Spektralproblem sehr effizient mit Hilfe eines funktionalen Gleichungssystems, der sogenannten Quantum Spectral Curve oder Quantenspektralkurve, gelöst werden kann. Es ermöglicht weitere detaillierte Forschung zu den zuvor genannten Theorien. Gleichzeitig
sind viele Fragen bezüglich der weiteren Verwendung und der zugrunde liegenden Mechanismen der Quantenspektralkurve noch unbeantwortet und es wert weiter erforscht zu werden. In dieser Dissertation analysieren wir, wie man die Quantenspektralkurve der η-deformierten AdS_5 × S^5-Superstringtheorie, welche eine integrable Deformation der AdS_5 × S^5-Superstringtheorie mit Quantengruppensymmetrie ist, herleiten kann. Dieses Modell kann wie eine Trigonometrisierung des AdS_5 × S^5-Superstrings betrachtet werden, vergleichbar mit dem Verhältnis zwischen den Heisenberg xxz- und xxx-Spinketten. Unsere Herleitung beginnt mit den Thermodynamischen-Bethe-Ansatz -Gleichungen für den
Grundzustand und behandelt die Konstruktion der beiden Quantenspektralkurven. Wir formulieren es zuerst in ein analytisches Y -System und anschließend in ein analytisches T -System um. Nach der Festlegung von einer passenden Eichung verwandeln wir das T -System in ein Pμ-System, welches die Quantenspektralkurve darstellt. Dann behandeln
wir die notwendigen Einschränkungen des asymptotischen Verhaltens des Systems, um bestimmte angeregte Zustände zu beschreiben. Aus Sicht des Spektrums interpolieren die η-deformierte Stringtheorie und ihre Quantenspektralkurve zwischen der AdS_5 × S^5 -Superstringtheorie und einer Superstringtheorie auf dem “mirror ”AdS_5 × S^5. Damit wird auf eine allgemeinere Relation zwischen den spektralen und thermodynamischen Daten
der η-deformierten Superstringtheorie hingewiesen.
Being able to solve an interacting quantum field theory exactly is by itself an exciting prospect, as having full control allows for the precise study of phenomena described by the theory. In the context of the AdS/CFT correspondence, which hypothesises a duality between certain string and gauge theories, planar N = 4 super Yang-Mills theory shows signs of great tractability due to integrability. The spectral problem of finding the scaling dimensions of local operators or equivalently of the string energies of string states of its AdS/CFT-dual superstring theory on the AdS_5 × S^5 background turned out to be very tractable. After over a decade of research it was found that the spectral problem can be solved very efficiently through a set of functional equations known as the quantum spectral curve. Although it allowed for a detailed study of the aforementioned theory, many open questions regarding the wider applicability and underlying mechanisms of the quantum spectral curve exist and are worth studying. In this thesis we discuss how one can derive the quantum spectral curve for the η-deformed AdS_5 × S^5 superstring, an integrable deformation of the AdS_5 × S^5 superstring with quantum group symmetry. This model can be viewed as a trigonometric version of the AdS_5 × S^5 superstring, like the xxz spin chain is a trigonometric version of the xxx spin chain. Our derivation starts from the ground-state thermodynamic Bethe ansatz equations and discusses the construction of both the undeformed and the η-deformed quantum spectral curve. We reformulate it first as an analytic Y -system, and map this to an analytic T -system which upon suitable gauge fixing leads to a Pμ system – the quantum spectral curve. We then discuss constraints on the asymptotics of this system to single out particular excited states. At the spectral level the η-deformed string and its quantum spectral curve interpolate between the AdS_5 × S^5 superstring and a superstring on “mirror” AdS_5 × S^5, reflecting a more general relationship between the spectral and thermodynamic data of the η-deformed string.