Ausgehend von der Annahme der modularen P1CT-Symmetrie in der Quantenfeldtheorie wird eine unitäre Darstellung der universellen Überlagerung der Poincarégruppe aus Paaren von modularen Konjugationen konstruiert. Die modularen Konjugationen sind zu Feldalgebren unbeschränkter Operatoren assoziiert, welche in Keilgebieten lokalisiert sind. Ein wesentlicher Schritt hierfür besteht in der Charakterisierung der universellen Überlagerung der Lorentzgruppe durch Paare von Keilgebieten, verbunden mit einer Analyse der geometrischen Eigenschaften dieser Charakterisierung.
Hierfür werden in dieser Arbeit im Fall von vier Raumzeit-Dimensionen zwei Möglichkeiten hergeleitet. Zunächst wird eine Realisierung der universellen Überlagerung als Quotientenraum über der Menge von Keilpaaren vorgestellt. Trotz der intuitiven Definition sind die notwendigen Eigenschaften einer universellen Überlagerung nicht in einfacher Weise zu zeigen. Dagegen ist die geometrische Struktur sehr gut zu handhaben. Ein zweiter Zugang beruht auf den bekannten Eigenschaften von Spingruppen als Untergruppen von Cliffordalgebren. Die Identifizierung mit Paaren von Keilregionen lässt sich direkt etablieren. Die geometrischen Eigenschaften werden mit Hilfe der Resultate für die zuerst erwähnte Konstruktion hergeleitet.
Die geometrischen Eigenschaften beider Realisierungen erlauben es, eine unitäre kovariante Darstellung der universellen Überlagerung mit Paaren von modularen Konjugationen zu kontruieren. Für diese Darstellung lässt sich das Spin-Statistik-Theorem auf direktem Wege beweisen. Ein PCT-Operator kann ebenfalls definiert werden. Des Weiteren ist es ohne großen Aufwand möglich, die Resultate auf Netze von Feldalgebren im Rahmen der algebraischen Quantenfeldtheorie zu übertragen.
Annahmen, wie die Existenz einer unitären Darstellung, welche die Spektrumsbedingung erfüllt, oder eine endliche Zahl von Komponenten des Quantenfeldes werden nicht benötigt. Die entscheidende Annahme der modularen P1CT-Symmetrie bedeutet im Rahmen der Standardaxiome keine Einschränkung der Allgemeinheit, da sie aus diesen folgt.
Starting from the assumption of modular P1CT symmetry in quantum field theory a representation of the universal covering of the Poincaré group is constructed in terms of pairs of modular conjugations. The modular conjugations are associated with field algebras of unbounded operators localised in wedge regions. It turns out that an essential step consists in characterising the universal covering group of the Lorentz group by pairs of wedge regions, in conjunction with an analysis of its geometrical properties.
In this thesis two approaches to this problem will be developed in four spacetime dimensions. First a realisation of the universal covering as the quotient space over the set of pairs of wedge regions will be presented. In spite of the intuitive definition, the necessary properties of a covering space are not straightforward to prove. But the geometrical properties are easy to handle. The second approach takes advantage of the well-known features of spin groups, given as subgroups of Clifford algebras. Characterising elements of spin groups by pairs of wedge regions is possible in an elegant manner. The geometrical analysis is performed by means of the results achieved in the first approach.
These geometrical properties allow for constructing a representation of the universal cover of the Lorentz group in terms of pairs of modular conjugations. For this representation the derivation of the spin-statistics theorem is straightforward, and a PCT operator can be defined. Furthermore, it is possible to transfer the results to nets of field algebras in algebraic quantum field theory with ease.
Many of the usual assumptions in quantum field theory like the spectrum condition or the existence of a covariant unitary representation, as well as the assumption on the quantum field to have only finitely many components, are not required. For the standard axioms, the crucial assumption of modular P1CT symmetry constitutes no loss of generality because it is a consequence of these.