Kurzfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir unkonventionelle Ordnung in Festkörpern und in ultrakalten Quantengasen unter Verwendung analytischer sowie numerischer Methoden. Dieser Ansatz ermöglicht uns, die Vorteile beider Systeme zu nutzen, um die zugrundeliegende Physik besser zu verstehen. Wir betrachten dabei vor allem geometrische und topologische Eigenschaften von Graphen und der zugehörigen hexagonalen Gitterstruktur. Zusätzlich beschäftigen wir uns mit der chiralen Ordnung des suprafluiden Zustandes, der im quadratischen Gitter entsteht, wenn Atome ein Bose-Einstein-Kondensat unter Einbindung von p-Orbitalen bilden.
Im ersten Projekt dieser Arbeit betrachten wir den unkonventionellen Quanten-Hall-Effekt, der in Graphen auftritt, wenn es mit zirkular-polarisiertem Licht getrieben wird. In Festkörpern ist der Quanten-Hall-Effekt ein Nachweis für die zugrundeliegenden geometrischen und topologischen Eigenschaften. Wir untersuchen den Quanten-Hall-Effekt unter experimentell-realisierbaren Bedingungen, nämlich unter Berücksichtigung von Dissipation und bei niedrigen Frequenzen des zirkular-polarisierten Lichts. Die Ergebnisse in diesem Regime unterscheiden sich deutlich von den Berechnungen für hohe Frequenzen von T. Oka und H. Aoki (2009). Unser Formalismus liefert daher einen wichtigen Bei- trag zum Verständnis von periodisch-getriebenen dissipativen Festkörpersystemen und hilft bei der Interpretation der Ergebnisse der kürzlich durchgeführten Experimente von James McIver et. al. (2019). Unsere Ergebnisse zeigen, dass die topologisch-robuste Quantisierung des Hall-Effekts durch resonante Anregungen beeinträchtigt wird aber die Leitfähigkeit ein geometrischer Effekt ist. Insbesondere erhalten wir einen wesentlichen Beitrag zur Leitfähigkeit indem wir die Berry-Krümmung mit den entsprechenden Besetzungen der Floquet-Bänder gewichten.
Der Quanten-Hall-Effekt ist ein Nachweis topologischer Eigenschaften in Festkörpern. Diese direkt zu messen, ist in Festkörpern hingegen schwierig. Im zweiten Projekt dieser Arbeit schlagen wir daher — gemeinsam mit dem Team von Christof Weitenberg — vor, topologische Defekte in einem mit Fermionen gefüllten hexagonalen Gitter zu detektieren. Unser Vorschlag basiert darauf, dass wir das Gitter zunächst periodisch modulieren, bevor wir ein Abbild mit der sogenannten Time-of-Flight-Methode erstellen. Aus dem daraus resultierenden Interferenzmuster lässt sich die relative Phase der Atome auf den zwei Untergittern des hexagonalen Gitters bestimmen. Die Mittelpunkte der zugehörigen Phasenwindung geben die Position der topologischen Defekte an. Diese Methode wurde von Matthias Tarnowski et. al. (2017) verwendet, um die Bewegung und Auslöschung von Dirac-Punkten, den topologischen Defekten im hexagonalen Gitter, zu beobachten.
Im dritten Projekt dieser Arbeit verwenden wir ultrakalte Bosonen, um eine andere unkonventionelle Ordnung zu untersuchen: das chirale Bose-Einstein- Kondensat im zweiten Band des quadratischen optischen Gitters mit zweiatomiger Basis. Ultrakalte Quantengase in höheren Bändern von optischen Gittern besetzen üblicherweise Orbitale mit endlichem Drehimpuls. Solche Orbitale spielen beispielsweise für Hochtemperatur-Supraleitung eine wichtige Rolle. Hier zeigen wir, dass das chirale Kondensat ein langlebiger metastabiler Zustand ist, dessen Zerfall zurück ins untere Band unterdrückt ist. Der Vergleich mit Experimenten aus der Gruppe von Prof. Andreas Hemmerich (2020) bestätigt diese Vorhersage. Die chirale Ordnung des Kondensates führt zu destruktiver Interferenz der verschiedenen Zerfallskanäle. Dies stabilisiert das Kondensat gegenüber Zerfall ins erste Band.
In this thesis we study unconventional order in both solid-state and ultracold-atom systems using analytic and numerical techniques. This hybrid approach allows to use the advantages of both systems to gain deeper knowledge of the underlying physical mechanisms. Our main focus lies on geometric and topological features of graphene and its hexagonal lattice structure. Additionally, we consider the chiral superfluid order that emerges when p-orbitals are involved in Bose-Einstein condensation. In the first project we consider an unconventional quantum Hall effect in solid-state graphene driven with circularly polarized light. In solid-state experiments the Hall conductivity represents an evidence of the underlying geometric and topological properties. We study the Hall conductivity in the experimentally feasible regime of dissipative low-frequency driving. In this limit the Hall conductivity behaves fundamentally different from the prediction for the high-frequency limit by T. Oka and H. Aoki (2009). Our formalism therefore makes an important contribution to the application of periodic driving to dissipative solid-state systems and presents an interpretation of the recent experiments by James McIver et. al. (2019). Although the topological quantization of the Hall conductivity is modified by resonant excitations we find that a major contribution to the Hall conductivity is a geometric effect obtained by weighting the Berry curvature of Floquet bands with the respective occupations. While the consequences of topology are reflected in the Hall conductivity, it is difficult to directly measure topological properties in solids. In the second project of this thesis we therefore propose, in collaboration with the experimental team of Christof Weitenberg, a detection mechanism for topological defects in a hexagonal lattice filled with ultracold fermions. Our proposal is based on a periodic lattice modulation prior to a time-of-flight measurement. This allows to extract the relative phase of the atoms on the two sublattices of the hexagonal lattice in the resulting interference pattern. The corresponding phase winding reflects the position of topological defects. This detection mechanism has been used by Matthias Tarnowski et. al. (2017) to measure the merging transition of the Dirac points in the hexagonal lattice. In the third project of this thesis we use ultracold bosons to study a different unconventional order: the chiral condensate in an excited band of the staggered square lattice. Ultracold atoms in excited bands of optical lattices naturally occupy orbitals with finite angular momentum. These are interesting to study since orbital order gives rise to phenomena as important as high-temperature superconductivity. We show that the chiral condensate represents a metastable state, which is long lived as its relaxation to the lowest band is suppressed. We confirm this prediction by comparing our simulations to the experiments performed in the group of Prof. Andreas Hemmerich (2020). By analyzing the relevant relaxation mechanisms, we find that the chiral order of the condensate self stabilizes through destructive interference of the involved relaxation channels.