Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Berechnungen von Korrekturen höherer Ordnung in der perturbativen Quanten Chromodynamik (QCD). Es werden die zweimassigen Beiträge zu den 3-loop massiven, polarisierten twist--2 Operatormatrixelementen (OMEs), $A_{Qq}^{(3),PS}$ und $A_{gg,Q}^{(3) }$, berechnet. Das $N$-Raum-Ergebnis für $A_{gg,Q}^{(3)}$ erhält man analytisch als Funktion des Massenverhältnisses der schweren Quarks, was für $A_{Qq}^{(3),PS}$ nicht durch iterierte Inegrale möglich ist. In der sog. $z$-Raum Darstellung
erhält man für beide Matrixelemente analytische Darstellungen durch iterierte Integrale, wobei aus Effizienzgründen hierüber für manche Terme ein weiteres Integral notwendig ist.
Diese universellen (prozeßunabhängigen) massiven OMEs bestimmen das asymptotische Verhalten der Wilson-Koeffizienten bei tief--inelastischer Streuung für große Virtualitäten $Q^2/gg m_{c,b}^2$. Hier bezeichnen $m_{c,b}$ die Charm- und Bottom-Quark-Masse. Diese Korrekturen sind auch erforderlich, um das Variable Flavor Number
Scheme zu definieren. Dieses Schema beschreibt für sehr hohe Impulsskalen den Übergang massiver Quark--Korrekturen in den masslosen Fall, was für die Beschreibung von Kollider--Daten von Bedeutung ist.
Im einmassigen Fall leiten wir die logarithmischen Korrekturen für die
Wilson-Koeffizienten der Strukturfunktion $g_1$ in der asymptotischen Region $Q^2/gg m_{c,b}^2$ ab.
Dies geschieht unter Verwendung der bekannten OMEs und der masselosen Wilson-Koeffizienten, unter Verwendung der Renormierungsgruppengleichungen.
Für die nicht-singulett Strukturfunktionen $F_2^{NS}$ und $g_1^{NS}$ berechnen wir den schema-invarianten Evolutionsoperator, der für masslose Quarks bekannt war und erweitern ihn für den massiven Fall mit ein- und zwei-massigen Korrekturen. Hierdurch kann die Evolution in diesem Fall effektiv bis zur $O(a_s^3)$ in den Wilsonkoeffizienten beschrieben werden. Hierbei bezeichnet $a_s = /alpha_s/(4/pi)$ die starke Kopplungskonstante.
Der Einfluss der bisher nicht vollständig bekannten 4--loop nicht-singulett anomalen Dimension kann effektiv beschrieben werden. Es stellt sich heraus, daß der Effekt des betreffenden Theoriefehlers vollständig kontrolliert werden kann. Eine Darstellung durch eine
Padé-Approximation zeigt sich als ausreichend.
Wir betrachten die Klasse der Funktionen multivariater hypergeometrischer Reihen und untersuchen Systeme von Differentialgleichungen und Differenzengleichungen, welche diese beschreiben.
Wir beschreiben ein algorithmisches Verfahren zur Lösung einiger Klassen solcher Differentialgleichungssysteme, welche eine hypergeometrische Reihenlösung mit verschachtelten hypergeometrischen Produkten als Summanden liefert und diskutieren die Beziehung zwischen
den Strukturen rationaler Monome aus Pochhammer-Symbolen. Für eine Reihe
generalisierter klassischer hypergeometrischer Reihen leiten wir Differentialgleichungssysteme und die zugehörigen Differenzengleichungen her. Wir stellen einige Beispiele für Reihenentwicklungen
solcher Funktionen und der darin auftretenden mathematischen Objekte vor. Es wird ein Mathematica-Paket beschrieben, welches Algorithmen implementiert, die sich auf die Lösung partieller linearer Differenzgleichungen beziehen, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf der Begrenzung des Grades der Nenner von Lösungen liegt, die rationale Funktionen sind. Diese Methoden haben besondere Bedeutung bei der Lösung von sog. multi-leg Berechnungen bei Feynman Diagrammen, kommen jedoch auch bei Anwendung der hypergeometrischen Methoden für
multi-loop Diagramme zum Einsatz.
Wir beschreiben eine numerische Implementierung einer analytischen $N$-Raum Bibliothek zur Berechnung von Skalenverletzungen von Strukturfunktionen, welche die Evolution von Parton-Verteilungsfunktionen bis zu NNLO aus einer vom Benutzer gewählten Parametrisierung durchführen kann und masselose und massive Wilson-Koeffizienten für das Photon für die Strukturfunktionen $F_2$ und $g_1$, im Falle des Photonaustausches, und für die Strukturfunktion $F_3^{W^+/pm W^-}$ im Falle geladener Ströme beschreibt. Die Bibliothek enthält im Mellin-Raum analytische Fortsetzungen der relevanten harmonischen Summen bis zum Gewicht $w=5$. Die numerische Darstellung im $x$-Raum erfolgt durch eine Kontur-Integration um die
Singularitäten der vollkommen analytischen Lösung der Evolutionsgleichungen im $N$ Raum.
This thesis deals with calculations of higher-order corrections in perturbative quantum chromodynamics (QCD). The two-mass contributions to the 3-loop, polarized twist-two operator matrix elements (OMEs) $A_{Qq}^{(3),PS}$ and $A_{gg,Q}^{(3)}$ are calculated. The $N$-space result for $A_{gg,Q}^{(3)}$ is obtained analytically as a function of the quark mass ratio, which for $A_{Qq}^{(3),PS}$ is not yet possible. In the $z$-space representation, one obtains for both matrix elements semi-analytical representations in terms of iterated integrals, whereby for reasons of efficiency an additional integral is necessary for some terms. These universal (process-independent) massive OMEs govern the asymptotic behaviour of the Wilson coefficients in deep-inelastic scattering at large virtualities $Q^2/gg m_{c,b}^2$, with $m_{c,b}$ the charm and bottom quark masses. These corrections are also required to define the variable flavour number scheme. This scheme describes the transition from massive quark corrections to the massless ones for very high momentum scales, which is relevant to the description of collider data. In the single-mass, polarized case, we derive the logarithmic corrections for the Wilson coefficients of the structure function $g_1$ in the asymptotic region $Q^2/gg m_{c,b}^2$. This is done using the known OMEs and massless Wilson coefficients, using the renormalization group equations. For the non-singlet structure functions $F_2^{NS}$ and $g_1^{NS}$ we revisit the scheme-invariant evolution operator known for massless quarks and extend it to the massive case with single- and two-mass corrections. In this case, the evolution can effectively be described up to $/mathcal O(a_s^3)$ in the Wilson coefficients, where $a_s=/alpha_s/(4/pi)$ denotes the strong coupling constant. The influence of the hitherto not fully known 4-loop non-singlet anomalous dimension can be described effectively. It turns out that the effect of the theory error in question can be completely controlled. A representation by a Padé approximant proves to be sufficient. We consider the class of functions of multivariate hypergeometric series and study systems of differential equations obeyed by them. We describe an algorithmic method to solve some classes of such differential systems which delivers a hypergeometric series solution having nested hypergeometric products as summand; we discuss the relationship between these products and Pochhammer symbols. For a number of classical hypergeometric series we derive differential systems and their associated difference equations. We present some examples of series expansions of such functions and of the mathematical objects which arise therein. We also present a Mathematica package which implements algorithms related to the solution of partial linear difference equations, focusing in particular on bounding the degree of the denominator of solutions which are rational functions. These methods are of particular importance when solving multi-leg calculations for Feynman diagrams, but also come into play when hypergeometric methods for multi-loop integrals are used. We describe a numerical implementation of an $N$-space library for the calculation of scaling violations for structure functions, which can perform the evolution of parton distribution functions up to NNLO from a parametrization chosen by the user, and encodes massless and massive Wilson coefficients for the structure functions $F_2$ and $g_1$ in the case of photon exchange, and for the structure functions $F_3^{W^+/pm W^-}$ in the case of charged-current exchange. The library contains analytic continuation of the relevant harmonic sums in Mellin-space up to weight 5 and many weight-6 harmonic sums. The numerical representation in $x$ space is performed by contour integration around the singularities of the solution of the evolution equations in $N$ space.