In dieser Arbeit stellen wir zwei geometrische Theorien vor, die entworfen wurden, um die allgemeine Relativitätstheorie zu erweitern. Es kann als eines der Ziele solcher Theorien angesehen werden, die beobachtete beschleunigte Expansion des Universums als Gravitationsphänomen zu beschreiben, or eine mathematische Struktur für die Formulierung von Quantenfeldtheorie auf gekrümmten Raumzeiten und Quantengravitation zu liefern. Diese Arbeit ist in zwei Teile aufgeteilt:
Im ersten Teil betrachten wir multimetrische Gravitationstheorien mit N > 1 Standardmodellkopien, die nur gravitativ wechselwirken und einander im Newtonschen Grenz/-fall abstoßen. Die Dynamik jeder dieser Standardmodellkopien ist durch einen eigenen metrischen Tensor bestimmt. Wir zeigen, dass der antisymmetrische Fall, in dem die gegenseitige Abstoßung zwischen den verschiedenen Materiesektoren von gleicher Stärke ist wie die attraktive Gravitationskraft innerhalb jeden Sektors, durch ein No-Go-Theorem für N = 2 ausgeschlossen ist. Wir zeigen weiter, dass dieses Theorem für N > 2 nicht gilt, indem wir explizit eine antisymmetrische, multimetrische, repulsive Gravitationstheorie konstruieren. Wir untersuchen daraufhin einige Eigenschaften dieser Theorie. Wir konstruieren insbesondere ein kosmologisches Modell und zeigen, dass die beschleunigte Expansion des späten Universums in der Tat durch die gegenseitige Abstoßung zwischen den verschiedenen Materiesorten erklärt werden kann. Weiterhin stellen wir ein einfaches Modell für Strukturbildung vor und zeigen, dass unser Modell zur Bildung von filamentartigen Strukturen und Voids führt. Schließlich zeigen wir unter Anwendung des parametrisierten post-Newtonschen Formalismus, dass multimetrische, repulsive Gravitation mit Präzisionsmessungen im Sonnensystem verträglich ist.
Im zweiten Teil der Arbeit präsentieren wir ein mathematisches Modell einer Quanten-Raumzeit in Form einer unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeit, die homöomorph zu einem geeigneten Schwartzraum ist. Dies erweitert und vereinigt sowohl die bekannte Funktionenraum-Konstruktion der Quantenmechanik als auch die differenzierbare Mannigfaltigkeitsstruktur der klassischen Raumzeit. In diesem Modell zeigen wir, dass die klassische Raumzeit in Form einer endlichdimensionalen Mannigfaltigkeit durch die topologische Identifikation aller Quantenpunkte mit identischem Ortserwartungswert entsteht. Wir spekulieren über die mögliche Relevanz dieser Geometrie für Quantenfeldtheorie und Gravitation.
In this thesis we present two geometric theories designed to extend general relativity. It can be seen as one of the aims of such theories to model the observed accelerating expansion of the universe as a gravitational phenomenon, or to provide a mathematical structure for the formulation of quantum field theories on curved spacetimes and quantum gravity. This thesis splits into two parts:
In the first part we consider multimetric gravity theories containing N > 1 standard model copies which interact only gravitationally and repel each other in the Newtonian limit. The dynamics of each of the standard model copies is governed by its own metric tensor. We show that the antisymmetric case, in which the mutual repulsion between the different matter sectors is of equal strength compared to the attractive gravitational force within each sector, is prohibited by a no-go theorem for N = 2. We further show that this theorem does not hold for N > 2 by explicitly constructing an antisymmetric multimetric repulsive gravity theory. We then examine several properties of this theory. Most notably, we derive a simple cosmological model and show that the accelerating expansion of the late universe can indeed be explained by the mutual repulsion between the different matter sectors. We further present a simple model for structure formation and show that our model leads to the formation of filament-like structures and voids. Finally, we show that multimetric repulsive gravity is compatible with high-precision solar system data using the parametrized post-Newtonian formalism.
In the second part of the thesis we propose a mathematical model of quantum spacetime as an infinite-dimensional manifold locally homeomorphic to an appropriate Schwartz space. This extends and unifies both the standard function space construction of quantum mechanics and the differentiable manifold structure of classical spacetime. In this picture we demonstrate that classical spacetime emerges as a finite-dimensional manifold through the topological identification of all quantum points with identical position expectation value. We speculate on the possible relevance of this geometry to quantum field theory and gravity.