Kurzfassung
Verschiedene bedeutsame Gittermodelle stark korrelierter Systeme werden mittels der dynamischen Molekularfeldtheorie von Zellen untersucht. Dabei werden alle Korrelationen in einem endlichen Teilgitter, der Zelle, exakt beschrieben. Darin sind auch Korrelationen von Temperaturfluktuationen eingeschlossen. Das Phänomen der Hochtemperatursupraleitung in Kupferoxiden wird im Rahmen des effektiven, mikroskopischen Hubbard Modells behandelt. Die Vielteilchenkorrelationen innerhalb einer zwei-mal-zwei Zelle, der Plaquette, ist ausreichend um Mott-isolierende, supraleitende und antiferromagnetische Zustände zu studieren. Im Phasendiagram der isolierten Plaquette wird ein hochgradig entarteter Punkt bei $25/%$ Lochdotierung identifiziert. In diesem Punkt kreuzen sich die Energien der Grundzustände verschiedener Teilchenzahlen. Es werden unterschiedliche Gitterumgebungen für die Plaquette entwickelt und ihre Phasen werden im Kontext des entarteten Punktes und seiner Vielteilchenstruktur analysiert. Es wird vorgeschlagen, dass die Entartung im Energiespektrum starke Quantenfluktuationen unterstützt, die zu einem quantenkritischen Punkt führen, falls Plaquettekorrelationen die Eigenschaften des Quadratgitters im entsprechenden Parameterbereich bestimmen. Eine spezielle Umgebung entspricht dem vierfachen Bethe-Gitter, das aus Plaquetten gekoppelt in unendlich vielen Dimensionen besteht und ein exakt lösbares Modell der Supraleitung mit $d_{x^2-y^2}$ Symmetrie repräsentiert. Des Weiteren wird das lokale Kraft Theorem angewandt, um das korrelierte Hubbard Modell zum effektiven Josephson Gitter zu vergröbern. Letzteres ist ein vereinfachtes $XY$ Modell von supraleitenden Phasenfluktuationen zwischen Plaquetten. Es ermöglicht Abschätzungen bezüglich der London Eindringtiefe und deutet darauf hin, dass Phasenfluktuationen die Übergangstemperatur in Kupferoxiden vermindern können. Außerdem wird das lokale Kraft Theorem in seinem ursprünglichen Kontext untersucht, dass heißt als Abbildung zum Heisenberg Modell, welches Spinaustausch Kopplung beschreibt. Es wird gezeigt, dass bei hinreichend kalten Temperaturen, bei denen sich gut definierte lokale magnetische Momente formen, die hergeleitete Wechselwirkung mittels Einteilchen-Korrelationsfunktionen ausgedrückt werden kann. Der Formalismus der effektiven Heisenberg Abbildungen wird zu allgemeinen nichtlokalen Elektron-Elektron Wechselwirkungen erweitert. Weiterhin wird gezeigt, dass magnetische Eigenschaften in komplexen Materialien von der multiorbitalen Struktur der Übergangsmetallatomen beeinflusst werden. Interorbitaler Coulombaustausch lässt ferromagnetische Spinkopplung entstehen und verstärkt Korrelationseffekte. Im Gegensatz dazu können stark überlappende Orbitale von verschiedenen Übergangsmetallatomen Dimere bilden, die die Elektronen in Molekülorbitalzustände vom Spintyp Singulett binden. Schließlich wird herausgefunden, dass der Wettstreit zwischen dem Molekülorbitalzustand und dem Hund's Kopplung getriebenen Doppelaustauschzustand zu Übergängen im Spinzustand führen kann. Dieser Übergang besitzt die kritische Eigenschaft des Spineinfrierens. Konsequenzen für Theorien von Supraleitung und Magnetismus in Materialien werden diskutiert.
Various important lattice models of strongly correlated systems are investigated by means of the cluster dynamical mean-field theory, which describes all correlations within a cellular scheme exactly, including temperature fluctuations. The phenomenon of high-temperature superconductivity in copper oxides is discussed in the framework of the effective microscopic Hubbard model. The many-body correlations within a two-by-two cluster, the plaquette, are sufficient to study Mott-insulating, superconducting and antiferromagnetic states. A highly degenerate point is identified at $25/%$ hole doping in the phase diagram of the isolated plaquette. At this point ground states of different particle numbers cross. Different lattice environments for the plaquette are developed, and their phases are analyzed in the context of the plaquette's degenerate point and its many-body structure. It is suggested that the degeneracy of the energy spectrum supports strong quantum many-body fluctuations that lead to a quantum critical point, if plaquette correlations determine the properties of the square lattice in a respective parameter regime. A special environment corresponds to the quadruple Bethe lattice which consists of plaquettes coupled in infinite dimensions and represents an exactly solvable model of superconductivity with $d_{x^2-y^2}$ symmetry. Moreover, the local force theorem is applied to coarse grain the correlated Hubbard model to the effective Josephson lattice, a simplified $XY$ model of superconducting phase fluctuations between plaquettes. It provides estimates for the London penetration depth and indicates that phase fluctuations can diminish the transition temperature in copper oxide superconductors. Furthermore, the local force theorem is examined in its original context as the map to the Heisenberg model of spin exchange coupling. It is shown that at sufficiently cold temperatures, at which well-defined local magnetic moments form, the derived interaction can be expressed by single-particle correlation functions. The formalism of effective Heisenberg mapping is extended to general non-local electron-electron interactions. It is shown that magnetic properties of complex materials can be affected by the multiorbital structure of the transition metal atoms. Interorbital Coulomb exchange gives rise to ferromagnetic spin coupling and can enhance correlation effects. In contrast, strong overlapping between orbitals of different transition metal atoms can cause dimer formation that binds the electrons into a molecular orbital state of spin-singlet type. It is found that the competition between the molecular orbital and the Hund's coupling-driven double exchange state can lead to spin-state transitions with a crossover regime which exhibits the critical property of spin freezing. Implications for theories of superconductivity and magnetism in real materials are discussed.