In der vorliegenden Arbeit wird eine vollständige Formulierung des Batalin-Vilkovisky (BV) Formalismus im Rahmen der lokal kovarianten Feldtheorie vorgeschlagen. Im ersten Teil der Arbeit wird die klassische Theorie untersucht, wobei der Schwerpunkt auf die zugrundeliegenden unendlich dimensionalen Strukturen gelegt wird. Es wird gezeigt, dass die Anwendung der unendlich dimensionalen Geometrie eine konzeptionell elegante Formulierung der Theorie ermöglicht. Die Konstruktion des BV-Komplexes ist völlig kovariant, und eine abstrakte Verallgemeinerung auf der Ebene Funktoren und natürlichen Transformationen wird vorgegeben. Dies ermöglicht die Anwendung des BV-Komplexes in der klassischen Gravitationstheorie. Anschließend wird eine homologische Interpretation der diffeomorphismusinvarianten physikalischen Größen vorgeschlagen.
Im zweiten Teil der Arbeit wird die Quantentheorie untersucht. Ein Rahmen für die BV-Quantisierung, der vom Pfadintegralformalismus völlig unabhängig ist und nur auf der perturbativen algebraischen Quantenfeldtheorie basiert, wird formuliert. Um solche Formulierung zu ermöglichen, wird zuerst bewiesen, dass das renormierte zeitgeordnete Produkt als eine binäre Operation auf einem geeigneten Definitionsbereich aufgefasst werden kann. Mittels dieses Resultats wird die Assoziativität dieses Produkts gezeigt und dadurch lassen sich die renormierte BV Strukturen konsistent definieren. Insbesondere werden die Quantenmastergleichung und der Quanten-BV-Operator definiert. Dabei wird die Master-Ward-Identität, eine wichtige Struktur der kausalen Störungstheorie, benutzt.
The present work contains a complete formulation of the Batalin-Vilkovisky (BV) formalism in the framework of locally covariant field theory. In the first part of the thesis the classical theory is investigated with a particular focus on the infinite dimensional character of the underlying structures. It is shown that the use of infinite dimensional differential geometry allows for a conceptually clear and elegant formulation. The construction of the BV complex is performed in a fully covariant way and we also generalize the BV framework to a more abstract level, using functors and natural transformations. In this setting we construct the BV complex for classical gravity. This allows us to give a homological interpretation to the notion of diffeomorphism invariant physical quantities in general relativity.
The second part of the thesis concerns the quantum theory. We provide a framework for the BV quantization that doesn’t rely on the path integral formalism, but is completely formulated within perturbative algebraic quantum field theory. To make such a formulation possible we first prove that the renormalized time-ordered product can be understood as a binary operation on a suitable domain. Using this result we prove the associativity of this product and provide a consistent framework for the renormalized BV structures. In particular the renormalized quantum master equation and the renormalized quantum BV operator are defined. To give a precise meaning to these objects we make a use of the master Ward identity, which is an important structure in causal perturbation theory.