In dieser Arbeit werden zwei verschiedene Ansätze studiert, die es erlauben, unitäre Störungstheorie für Quantenfelder auf dem nichtkommutativen Minkowskiraum auch bei nicht-kommutierender Zeit zu definieren.
Der erste Ansatz basiert auf der üblichen Dyson'schen Störungstheorie mit einem entsprechend definierten Hamiltonoperator. Die Graphentheorie wird angegeben. Wird die Nichtkommutativität nicht als festes Hintergrundfeld betrachtet, sondern an jedem Vertex gemittelt, so sind Theorien mit kubischer (und mit hoher Wahrscheinlichkeit auch solche mit quartischer) Selbstwechselwirkung ultraviolett-endlich. Verwendet man dagegen die sogenannte Quanten-Diagonal-Abbildung (eine neue Definition des Limes zusammenfallender Punkte auf dem nichtkommutativen Minkowskiraum) zur Definition des Wechselwirkungsterms, so ist die resultierende S-Matrix immer ultraviolett-endlich. Das übliche Ultraviolett-Infrarot-Mischungsproblem tritt hier nicht auf.
Der zweite, zum Hamiltonformalismus inäquivalente, störungstheoretische Ansatz basiert auf der Yang-Feldman-Gleichung. Quantenfelder werden als sogenannte q-Distributionen definiert, und die zugehörige Graphentheorie wird angegeben. Der Limes zusammenfallender Punkte wird für diesen Rahmen definiert, und darauf basierend wird ein Kriterium, genannt q-Lokalität, angegeben, welches die erlaubten Gegenterme für die Renormierung auszeichnet. Sodann werden Produkte von Feldern, die sogenannten quasiplanaren Wick-Produkte, dadurch definiert, daß nur q-lokale Gegenterme zugelassen sind. Diese bleiben im Limes zusammenfallender Punkte wohldefiniert. Die resultierende Dispersionsrelation deutet darauf hin, daß das asymptotische Verhalten der Theorie von demjenigen lokaler Theorien auf dem Minkowskiraum stark abweicht.
In this thesis, two different approaches are studied which allow for the definition of unitary perturbation theory for quantum fields on the noncommutative Minkowski space, without assuming commutativity in the time-variable.
The first approach is based on the usual perturbation theory according to Dyson, using a suitably defined Hamilton operator. The corresponding graph theory is presented. Theories with cubic (and, most likely, also those with quartic) self-interaction turn out to be ultraviolet finite, if the noncommutativity is averaged at each vertex. On the other hand, if the so-called quantum diagonal map (a suitable definition of the limit of coinciding points on the noncommutative Minkowski space) is used to define interaction terms, the resulting S-matrix is always ultraviolet-finite. The ordinary ultraviolet-infrared mixing problem is not present here.
The second approach to perturbation theory, which is inequivalent to the Hamilton formalism, is based on the Yang-Feldman equation. Quantum fields are defined as so-called q-distributions, and the appropriate graph theory is specified. The limit of coinciding points is defined in this framework, and a criterion, called q-locality, is formulated, which singles out the admitted counterterms. Products of fields, called quasi-planar Wick products, are defined by only admitting q-local counterterms. These products remain well-defined in the limit of coinciding points. The resulting dispersion relation provides evidence that the theory's asymptotic behaviour is considerably changed compared to that of local theories on Minkowski space.