In dieser Arbeit untersuchen wir Semiklassik des Sinh-Gordon Modells. Das Sinh-Gordon Modell ist integrabel, die expliziten Lösungen der klassischen und der Quantentheorie sind bekannt. Das ermöglicht eine umfassende Untersuchung sowohl der semiklassischen Quantisierung des klassischen Modells als auch des semiklassischen Grenzwerts der exakten Quantenlösung. Semiklassisch bedeutet in dem Fall, dass die entscheidenden Größen der Quantentheorie als formale Potenzreihe in h/2π konstruiert werden. Eine Schlüsselrolle in der Lösung der Quantentheorie nimmt die Q-Funktion ein. Ziel der Arbeit ist es zu beantworten, inwieweit die klassische Integrabilität des Modells eine Konstruktion der semiklassischen Q-Funktion ermöglicht.
Dabei verfolgen wir zwei konzeptionell unabhängige Wege. Zum einen gehen wir von der exakten, nicht störungstheoretischen Lösung des Quantenmodells aus und berechnen den halbklassischen Grenzwert bis zur nächstführenden Ordnung in h/2π. Wir finden dabei die Spektralkurve, sowie die semiklassische Entwicklung der Q-Funktion und des Eigenwerts der Monodromiematrix. Zum anderen konstruieren wir die ersten beiden Ordnungen der halbklassischen Q-Funktion ausgehend von der klassischen Lösungstheorie des Modells. Die Resultate beider Herangehnsweisen stimmen überein.
In this work we investigate the semiclassics of the Sinh-Gordon model. The Sinh-Gordon model is integrable, its explicit solutions of the classical and the quantum model are well known. This allows for a comprehensive investigation of the semiclassical quantization of the classical model as well as of the semiclassical limit of the exact quantum solution. Semiclassical means in this case that the key objects of quantum theory are constructed as formal power series. A quantity playing an important role in the quantum theory is the Q-function. The purpose of this work is to investigate to what extend the classical integrability of the model admits of a construction of the semiclassical expansion of the Q-function.
Therefore we used two conceptual independent approaches. In the one approach we start from the exact nonperturbative solution of the quantum model and calculate the semiclassical limit up to the next to leading order. Thereby we found the spectral curve, as well as the semiclassical expansion of the Q-function and of the eigenvalue of the monodromy matrix. In the other approach we constructed the first two orders of the semiclassical expansion of the Q-function, starting from the classical solution theory. The results of both approaches coincide.