Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung numerischer Methoden zur Beschreibung räumlicher Korrelationen in stark wechselwirkenden fermionischen Systemen. Die vor kurzem entwickelten zeitkontinuierlichen Quanten Monte Carlo Methoden zur Lösung des Quantenstörstellenproblems bilden die Grundlage dieser Verfahren. Es wird gezeigt wie Korrelationsfunktionen in imaginärer Zeit sowie Zweiteilchenvertexfunktionen berechnet werden können.
Eine erste Anwendung bildet das zweilagige Hubbard Modell auf dem Bethe-Gitter. Es wird im Rahmen der dynamischen Molekularfeldtheorie numerisch exakt gelöst. Die dynamische Suszeptibilität sowie Spinkorrelationen werden berechnet. Das System weist unter anderem einen Phasenübergang zum Singlett-Isolator auf, welcher mit der Ausbildung einer Ladungs- sowie Spin-Lücke einhergeht. Für eine weitere Anwendung wird das Anderson Störstellenproblem als Modell einer Kondo Störstelle auf metallischem Substrat herangezogen. Die räumlichen Spin- und Ladungskorrelationen der nichtwechselwirkenden Leitungselektronen lassen sich mittels der Vertexfunktion der Störstelle ohne weitere Näherung bestimmen. Es wird gezeigt, dass die räumliche Variation der lokalen Badkorrelationen eine klare Signatur der Kondo Abschirmwolke enthält. Diese ist somit prinzipiell über Tunnelmikroskopie Experimente nachweisbar.
Der Hauptteil der Arbeit behandelt die Methode dualer Fermionen zur Lösung quantenmechanischer Vielteilchenprobleme.
Die Anwendung auf Gitterprobleme erlaubt, ausgehend von der dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT), räumliche Korrelationen zu berücksichtigen. Im zweidimensionalen Hubbard Modell führt dies gegenüber DMFT zu einer qualitativen Änderung des Metall-Isolator Übergangs durch kurzreichweitige antiferromagnetische Korrelationen.
Das Verfahren wird auf Mehrorbitalsysteme verallgemeinert und die Diagrammregeln für die Störungstheorie werden abgeleitet. Es wird ein flexibles Konzept zur objektorientierten Implementierung von störungstheoretischen Verfahren entwickelt. Eine neuartige Cluster-Methode wird vorgeschlagen und getestet. Ferner wird gezeigt, wie verallgemeinerte Suszeptibilitäten berechnet werden können.
Ein weiteres wesentliches Resultat ist die erhaltende Leiternäherung für duale Fermionen in Anlehnung an die Fluktuationsaustauschnäherung. Diese berücksichtigt Effekte langreichweitiger Korrelationen und reproduziert die Pseudolücke im Einteilchenspektrum. Es wird gezeigt, dass die Methode im Gegensatz zur konventionellen Fluktuationsaustauschnäherung insbesondere im Fall starker Elektronenkorrelationen anwendbar ist. Basierend auf der Leiternäherung wird ein Verfahren vorgeschlagen, das in Verbindung mit Bandstrukturmethoden erstmals die realistische Beschreibung von korrelierten Materialien unter Einbeziehung langreichweitiger Korrelationen erlaubt.
This thesis presents efficient numerical approaches to spatial correlations in strongly interacting fermion systems. The recently proposed continuous-time quantum Monte Carlo algorithms provide the basis for most of these approaches and are presented in detail. It is shown how imaginary-time correlation functions and two-particle vertex functions are computed with these methods.
A first application is the two-plane Hubbard model on the Bethe lattice in infinite dimensions. Within dynamical mean-field theory it is solved numerically exactly. The dynamical susceptibility and spin-correlations of the model are computed. It exhibits a phase transition to a singlet-insulator phase, which is accompanied by the simultaneous formation of a spin- and charge-gap.
For a second application, a Kondo impurity on a metallic substrate is modeled by an Anderson impurity model. The spatial spin and charge correlations of the noninteracting conduction electron bath can be obtained from the vertex function of the impurity model without invoking any approximations. It is shown that the spatial variation of the local bath correlation function exhibits a clear signature of the Kondo screening cloud, which is therefore accessible to scanning tunneling microscopy experiments.
The main part of the thesis is concerned with the dual fermion approach to the solution of the quantum many-body problem, which is introduced in detail. The method is employed to devise an efficient solver for the Anderson impurity model. It is free of statistical errors and allows a direct and stable analytical continuation of dynamical quantities to the real axis.
The application of the dual fermion approach to quantum lattice models allows to account for spatial correlations beyond dynamical mean-field theory. It is shown that the inclusion of short-range antiferromagnetic correlations in the two-dimensional Hubbard model leads to a qualitative modification of the metal-insulator transition. The dual fermion formalism is generalized to the multiorbital case and the diagram rules of the perturbation theory are derived. A flexible concept for the object-oriented implementation of combined numerical and diagrammatic techniques is developed. Based hereupon, a novel cluster-method is implemented and tested. It is further shown how generalized susceptibilities are obtained within this approach.
Another important result is the conserving infinite-order ladder approximation, which accounts for fluctuation-exchange corrections to the dual self-energy. It allows to capture the effects of long-range correlations. In contrast to the fluctuation-exchange approximation, it is shown that this method is applicable in particular for the case of strong electronic correlations. It is further demonstrated that it reproduces the pseudogap in the single-particle spectrum. A scheme based on the ladder approximation is proposed, which, in conjunction with band structure methods, for the first time allows a realistic and computationally feasible description of correlated materials including the effects of long-range correlations beyond dynamical mean-field theory.