Kurzfassung
Zusammenfassung
Diese Dissertation untersucht das Zusammenspiel zwischen Integrierbarkeit, Sym-metrien, Korrespondenzen und Renormierungsgruppenflüssen (RG-Flüsse) in Quan-tenfeldtheorien in zwei und vier Dimensionen.
Im ersten Teil analysieren wir die analytischen Eigenschaften und die integrable Struktur des Mesonspektrums im Limes großer N, der zweidimensionalen QCD. In diesem Regime zeigt sich, dass die Integralgleichung, welche die Mesonenmassen bestimmt, einer TQ-Baxter-Gleichung entspricht, wie sie aus integrablen Modellen bekannt ist. Diese Reformulierung ermöglicht den Zugang zur analytischen Struktur des Spektrums in der komplexen Ebene der Quarkmassen. Wir zeigen, dass diese emergente Integrierbarkeit auch in einer erweiterten Klasse von „verallgemeinerten QCD-Modellen mit BF-artigen Wechselwirkungen erhalten bleibt, wodurch neue Infrarotphasen und kritische Punkte identifiziert werden können.
Der zweite Teil befasst sich mit den Symmetrien und Renormierungsgruppenflüs-sen deformierter zweidimensionaler konformer Feldtheorien (CFTs). Wir schlagen cine neue Klasse nichtlinearer Integralgleichungen vor, die das Spektrum endlicher Volumina entlang von RG-Flüssen zwischen Virasoro-Minimalmodellen kodieren. Diese Gleichungen sind motiviert durch Anomalicabgleiche nicht-invertierbarer Symmetrien. Darüber hinaus charakterisieren wir eine Familie nicht-topologischer, jedoch erhaltener Defekte in deformierten CFTs. Diese Defekte erzeugen erhaltene Ladungen entlang des RG-Flusses, erweitern die Kategorie topologischer Symmetri-en und kodieren nichttriviale dynamische Informationen. Durch Anwendung dieses Rahmens auf Minimalmodelle zeigen wir die Existenz unendlich vieler nicht-lokaler kommutierender Ladungen, auch in Fällen jenseits der bisher bekannten integrablen Deformationen.
Der letzte Teil behandelt die Schur-Quantisierung von vierdimensionalen N = 2 supersymmetrischen Theorien und ihr Zusammenspiel mit RG-Flüssen sowie verwandten mathematischen und physikalischen Problemen. Wir konstruieren die Quantisierung des komplexen Teichmüller-Raums, welcher das Ergebnis der Schur-Quantisierung für Theorien der Klasse S beschreibt. Die quantenanalytische Langlands-Korrespondenz ergibt sich dabei als Spezialfall der Schur-Quantisierung. In einem bestimmten Grenzfall liefert diese Korrespondenz eine geometrische Charakterisierung des einwertigen Spektrums des quantenmechanischen Hitchin-Integrablesystems in Form realer Oper. Wir verwenden die Methode der Separation der Variablen für Gaudin-Systeme, um einen Beweis der analytischen Langlands-Korrespondenz für Kurven vom Geschlecht Null zu liefern.
Abstract This thesis investigates the interplay between integrability, defects, and renormal-ization group (RG) flows, in quantum field theories in 2 and 4 dimensions. In the first part, we study the analytic properties and integrable structure of the meson spectrum in the large N. limit of two-dimensional QCD. In this regime, the integral equation governing meson masses is shown to be equivalent to a TQ-Baxter equation, characteristic of integrable models. This reformulation gives access to the analytic structure of the spectrum in the complex plane of the quark masses. We demonstrate that the description via a spectral curve persists in a broader class of "generalized QCD" models with BF-type interactions, enabling the identification of new infrared phases and critical points. The second part focuses on the symmetries and renormalization group flows of perturbed two-dimensional Conformal Field Theories (CFTs). We propose a new class of non-linear integral equations that encode the finite-size spectrum along RG flows between Virasoro minimal models, motivated by anomaly matching of non-invertible symmetries. Furthermore, we characterize a family of non-topological yet conserved defects in perturbed CFTs. These defects give rise to conserved charges along the RG flow, and extend topological symmetries. Applying this framework to minimal models, we establish the existence of infinite sets of non-local commuting charges, beyond previously known integrable deformations. The final part examines the Schur quantization of four-dimensional N = 2 supersymmetric theories and its interplay with RG flows, along with related mathematical and physical problems. We construct the quantization of the complex Teichmüller space, which describes the outcome of Schur quantization for class S theories. The quantum analytic Langlands correspondence emerges as a special case of Schur quantization. In a particular limit, this correspondence yields a geometric characterization of the spectrum of the quantum Hitchin integrable system in terms of real opers. Using the Separation of Variables method for the Gaudin integrable model, we provide a proof of the analytic Langlands correspondence for genus-zero curves.