Kurzfassung
Die Quantentheorie der Gravitation wird untersucht vom Blickwinkel der Renormierungsgruppe. Die Analyse basiert auf Methoden von J. Polchinski bezüglich der pertubativen Renormierung mit Flussgleichungen. Im ersten Teil der Arbeit wird das Programm der Renormierung mit Flussgleichungen vorgestellt und erweitert auf den Fall effektiver Feldtheorien mit endlichem UV Cutoff. Dieses wird durchgeführt für eine skalare Feldtheorie durch Einführung zusätzlicher Renormierungsbedingungen für einige der nichtrenormierbaren Kopplungskonstanten. Es stellt sich heraus, dass man auf solche Weise eine Aussage über die Prediktivität der Theorie auf Skalen weit unterhalb des UV Cutoffs bekommt. Insbesondere können nichtrenormierbare Theorien in dem entwickelten Rahmen problemlos behandelt werden. Im zweiten Teil wird die übliche kovariante BRS Quantisierung der Gravitation durchgeführt. Eine Cutoff-Regularisierung wird eingesetzt und die daraus resultierende Verletzung der Slavnov-Taylor Identitäten diskutiert. Nach der Herleitung der Polchinski-Renormierungsgruppengleichung für Euklidische Quantengravitation folgt eine Analyse der Prediktivität effektiver Quantengravitation auf Skalen weit unterhalb der Planckskala mit Hilfe der Flussgleichungen. Eine ''fine-tuning''-Prozedur zur Wiederherstellung der Slavnov-Taylor Identitäten wird vorgestellt und es wird dargelegt, dass im Kontext der effektiven Quantengravitation die Wiederherstelllung nur mit endlicher Genauigkeit gelingen kann. Zuletzt folgt eine Analyse des No-Cutoff Limes der Quantengravitation im Rahmen der Polchinski-Methode. Es wird spekuliert, dass ein solcher Limes für nichtverschwindendene Werte der Gravitationskonstante existieren könnte, wobei letztere dann bestimmt wäre durch die kosmologische Konstante und die Massen der Elementarteilchen.
Quantum gravity is analyzed from the viewpoint of the renormalization group. The analysis is based on methods introduced by J. Polchinski concerning the perturbative renormalization with flow equations. In the first part of this work, the program of renormalization with flow equations is reviewed and then extended to effective field theories that have a finite UV cutoff. This is done for a scalar field theory by imposing additional renormalization conditions for some of the nonrenormalizable couplings. It turns out that one so obtains a statement on the predictivity of the effective theory at scales far below the UV cutoff. In particular, nonrenormalizable theories can be treated without problems in the proposed framework. In the second part, the standard covariant BRS quantization program for Euclidean Einstein gravity is applied. A momentum cutoff regularization is imposed and the resulting violation of the Slavnov-Taylor identities is discussed. Deriving Polchinski's renormalization group equation for Euclidean quantum gravity, the predictivity of effective quantum gravity at scales far below the Planck scale is investigated with flow equations. A fine-tuning procedure for restoring the violated Slavnov-Taylor identities is proposed and it is argued that in the effective quantum gravity context, the restoration will only be accomplished with finite accuracy. Finally, the no-cutoff limit of Euclidean quantum gravity is analyzed from the viewpoint of the Polchinski method. It is speculated whether a limit with nonvanishing gravitational constant might exist where the latter would ultimatively be determined by the cosmological constant and the masses of the elementary particles.