Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Wall-Crossing Phänomenen von BPS Zuständen in 4d N = 2 supersymmetrischen Quantenfeldtheorien, einschließlich Argyres-Douglas und Seiberg-Witten Theorien. Das BPS Spektrum wird in den verschiedenen Regionen des Modulraums bestimmt, die durch die “Walls of marginal stability” begrenzt werden. Dies geschieht zunächst durch die Anwendung von Attractor-Flow Methoden und danach durch die Herleitung einer erzeugenden Funktion mit Koeffizienten, die beim Überqueren einer Wall sich verändern. Die Attractor-Flow-Methoden werden angewandt, indem die Existenzbedingungen für BPS-Zustände an den Endpunkten der Flusslinien betrachtet werden. Diese Linien verzweigen sich, wenn eine Linie, die zu einem zusammengesetzten BPS-Zustand gehört, in eine Wall fließt.
Für N = 4 supersymmetrische Schwarze Löcher mit elektrischer und magnetischer Ladung werden die Wall-Crossing-Phänomene von 1/4-BPS-Zuständen durch den Weyl-Nenner für die Borcherds-Kac-Moody-Algebra beschrieben. Diese Funktion hat unterschiedliche Fourier- Entwicklungen in den verschiedenen Weyl-Kammern. Dies repräsentiert einen Sprung im Entartungsgrad der Schwarzen Löcher mit spezifischer Ladung. In dieser Arbeit werden Analoga dieser erzeugenden Funktion für BPS-Strukturen in N = 2 supersymmetrischen Theorien gefunden. Diese Analoga sind die Weyl-Nenner-Formeln für ADE Lie-Algebren, in denen die Wurzeln die Ladung der BPS-Teilchen beschreiben. Mithilfe dieser Formeln kann man Informationen über das Spektrum der BPS- und gerahmten BPS-Zustände ablesen. Die Regionen des Modulraums, in denen die Spektren konstant sind, werden durch die Walls begrenzt. Diese Walls umfassen die Grenzen der Weyl-Kammern, aber auch eine zusätzliche Wall of marginal stability. In einigen Beispielen entkoppelter BPS-Strukturen lassen sich diese Phänomene auch mit den Stokes-Sprüngen der Borel-Summierung der freien Energien des topologischen Strings beschreiben.
This thesis studies wall crossing phenomena in BPS structures associated to 4d N = 2 QFTs including both Argyres-Douglas and Seiberg-Witten theories. The BPS spectrum is determined in each region of the moduli space, bounded by walls of marginal stability, both by using attractor flow methods and by deriving a generating function with Fourier coefficients that jump as a wall is crossed. The attractor flow methods are applied using existence conditions for the BPS states on the endpoints of the flow lines which split when a composite line flows into a wall. For N = 4 dyonic black holes the wall crossing of 1/4 BPS states is known to be determined by the Weyl denominator of a Borcherds-Kac-Moody algebra. This has a different Fourier expansion in the different chambers, which represents a jump in the degeneracies of black holes with specific charges. In this work, analogs of these counting functions are found for N = 2 BPS structures. These correspond to the Weyl denominator formulae in the case of ADE type Lie algebras, where the root system describes the charges of the BPS particles. The resulting formulae contain information about the spectra of BPS and framed BPS states in Weyl chambers within the moduli spaces of these theories. The regions in the moduli space with fixed spectra are found to be bounded by walls, including the Weyl chamber boundaries and an additional wall of marginal stability. In some examples of uncoupled BPS structures this can then be reproduced by the Stokes phenomena of the Borel summation of the topological string free energy.