Kurzfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir in drei Projekte die Cooper-Paare und die Fermion-Trimere in Festkörper- und Kaltatomsystemen. Im ersten Projekt lösen wir das Cooper-Problem a priori in einem Cuprat-Gitter. Das Cuprat-Gitter ist ein Lieb-Gitter mit einer ausreichend großen Ladungstransferenergie. Es bietet eine nützliche Plattform für die Untersuchung einer CuO_{2}-Ebene, die eine Hauptkomponente der Hochtemperatur-Cuprat-Supraleiter darstellt. Wir betrachten eine quadratische Einheitszelle mit drei Gitterplätze inklusive einer d_{x^{2}-y^{2}}-Orbitalkonfiguration, die ein Cu-Atom darstellt, und zwei p_{x}- und p_{y}-Orbitalkonfigurationen, die die Sauerstoffatome darstellen. Wir zeigen, dass das Hüpfen zum übernächsten Nachbarn die Krümmung der dispersiven Bänder ändert und so eine bessere Übereinstimmung der Fermi-Oberflächengeometrie mit experimentellen Daten liefert. Auf diese Weise können wir die Lochdotierung erhöhen, während die gewünschte Geometrie der Fermi-Oberfläche erhalten bleibt. Wir bilden den Fermi-Hubbard-Hamilton-Operator auf einer Untermannigfaltigkeit eines dispersiven Einzelbandes ab, in der der Gesamtimpuls eines Paares verschwindet. Während das Cooper-Problem normalerweise als die schwache Kopplungsgrenze eines Elektronenpaars betrachtet wird, präsentieren wir hier ein Beispiel, das eine starke Kopplungsgrenze der abstoßenden Wechselwirkung enthält. Wir erlegen der Orbitalsymmetrie eines Cooper-Paares a posteriori keine Einschränkungen auf. Unsere Ergebnisse zeigen, dass die Grundzustandslösung des Cooper-Problems in einem Cuprat-Gitter die Orbitalsymmetrie von d_{x^{2}-y^{2}} unterstützt. Wir finden einen höchsten absoluten Wert der Grundzustandsenergie, der einer kritischen Temperatur in der Größenordnung von 100 K entspricht. Über die Hochtemperatur-Cuprat-Supraleiter hinausgehend schlagen wir eine experimentelle Signatur der d-Wellen-Cooper-Paare für ein Kaltatomsystem in einem Cuprat-Gitter unter Verwendung der Techniken der time-of-flight-image- und noise-correlations vor.
Wir sind zugleich auch an der Bildung von drei elektronengebundenen Zuständen in einem Festkörpersystem interessiert. Im zweiten Projekt betrachten wir dann zwei Spin-up- und Spin-down-Elektronen, die einem inerten Fermi-See in einem unteren Band mit einer quadratischen Dispersionsrelation ausgesetzt sind und ein Cooper-Paar bilden. Wir erweitern dabei das Cooper-Problem, indem wir ein zusätzliches Elektron in ein ansonsten leeres Band mit einer quadratischen Dispersionsrelation aufnehmen, das attraktiv mit anderen Elektronen interagiert. Wir bilden dazu ein System aus der zwei gekoppelten Integralgleichungen im Impulsraum, das das Drei-Elektronen-System beschreibt. Unsere analytischen und numerischen Lösungen zeigen, dass drei Elektronen über eine kritische Interband-Wechselwirkung hinaus einen gebundenen Zustand bilden können bei Wechselwirkungsstärken, die noch nicht ausreichen, um ein Cooper-Paar zu bilden. Wir bezeichnen diesen gebundenen Drei-Elektronen-Zustand als Elektronen-Trimer. Unsere analytische Abschätzung der kritischen Interband-Wechselwirkungsstärke zeigt, dass sie für große effektive Massen des zusätzlichen Elektrons, sowie kleine Fermi-Geschwindigkeiten und eine große Debye-Energie am niedrigsten ist. Wenn wir die Stärke der Intraband-Wechselwirkung in ihrer absoluten Größenordnung erhöhen, konkurriert der Trimer-Zustand mit der Bildung eines Cooper-Paares. Unsere Ergebnisse besagen, dass drei Elektronen einen gebundenen Zustand für nicht wechselwirkende Intraband-Elektronen bilden können. Aus der Sicht der Elektronen in einem unteren Band kann dieser Trimer-Zustand als ein Teilchen-induzierter gebundener Zustand interpretiert werden. Wenn darüber hinaus die effektive Masse der Elektronen in einem tieferen Band sehr viel schwerer ist als die effektive Masse des Elektrons in einem höheren Band und dies für eine Debye-Energie, die mit der Fermi-Energie vergleichbar ist, dann beobachten wir die Bildung von mehr als einem Trimer-Zustand. Als experimentelle Signatur für Elektronen-Trimere in herkömmlichen Supraleitern schlagen wir zwei Szenarien vor, die die moderne Technologie von sogenannten Pump-Probe-Experimenten verwenden. Das erste Szenario fasst das Elektrontrimer als einen angeregten Zustand auf, der als ein In-Gap-Resonanz-Peak sichtbar wird, wobei dieser Zustand entweder optisch untersucht wird oder elektronenoptisch in ein höheres Band gepumpt wird. Das zweite Szenario besteht darin, den Trimeren-Zustand als einen Grundzustand des Systems aufzufassen, der den BCS-Zustand destabilisiert.
Als ein weiteres Beispiel für Trimere erwähnen wir Efimov-Zustände, d.h. die Dreikörper-gebundenen Zustände von Teilchen, die über kurze Entfernungen interagieren. Im Gegensatz zu einem Cooper-Paar kann im Vakuum ein Efimov-Zustand gebildet werden. Und im Unterschied zu den Elektronentrimeren ist die Anzahl der Efimov-Zustände im Prinzip unendlich, wobei ein geometrisches Skalierungsgesetz gilt. Im dritten Projekt schließlich untersuchen wir die Auswirkung der Fermi-Seen auf das Efimov-Spektrum. Wir bilden dazu ein System aus zwei gekoppelten Integralgleichungen im Impulsraum und bestimmen die Dreikörper-Bindungszustände eines Atoms in einer Fermi-Mischung für Kontaktwechselwirkungen. Wir zeigen, dass die Fermi-Seen das entsprechende Efimov-Spektrum systematisch deformieren und dabei das Gesamtspektrum aufgrund der Pauli-Blockierung von Zuständen in Richtung positiver Werte der s-Wellen-Streulängen verschieben. Wir finden, dass dieser Effekt in der Nähe der Unitarität stärker ausgeprägt ist, wofür wir eine analytische Schätzung angeben können. Wir stellen darüberhinaus fest, dass die Verformung des Efimov-Spektrums die Translationssymmetrie bricht. Dies impliziert, dass das Efimov-Skalierungsgesetz dann nicht mehr gilt. Wir erhalten so ein verallgemeinertes Skalierungsgesetz, das die gebundenen Drei-Körper-Zustände in Gegenwart von Fermi-Seen beschreibt. Schließlich ermöglichen es unsere Ergebnisse, drei experimentelle Szenarien vorzuschlagen, um Drei-Körper-Bindungszustände in einer ultrakalten fermionischen Mischung von Yb-Isotopen beobachten zu können. Wir können dazu den Beginn eines Drei-Körper-Bindungszustands abschätzen inklusive der zugehörigen Bindungsenergie.
In this work, we study Cooper pairs and fermion trimers in solid-state and cold-atom systems in three main projects. In a first project, we solve the Cooper problem in a cuprate lattice a priori. The cuprate lattice is a Lieb lattice with a sufficiently large charge-transfer energy. It provides a useful platform to study a CuO_{2} plane, which is a main unit of the high-temperature cuprate superconductors. We consider a square unit cell with three sites including a d_{x^{2}-y^{2}} orbital configuration representing a Cu atom, and two p_{x} and p_{y} orbital configurations representing the oxygens. We demonstrate that the next-nearest-neighbor hopping changes the curvature of the dispersive bands, and provides a better agreement of the Fermi-surface geometry compared to experimental data. This implies that we can increase the hole doping while the desired geometry of the Fermi surface is preserved. We constitute the Fermi-Hubbard Hamiltonian on a submanifold of a dispersive band, where the total momentum of a pair vanishes. While the Cooper problem is usually considered as a weak-coupling limit of an electron pair, here we present an example that includes a strong-coupling limit of the repulsive on-site interactions. We do not impose any constraints on the orbital symmetry of a Cooper pair a posteriori. Our results demonstrate that the ground-state solution of the Cooper problem in a cuprate lattice supports the orbital symmetry of d_{x^{2}-y^{2}}. We find a largest absolute value of the ground-state energy corresponding to a critical temperature of the order of 100 K. Further, and going beyond high-temperature cuprate superconductors, we propose an experimental signature of the d-wave Cooper pairs for a cold-atom system in a cuprate lattice using the techniques of time-of-flight image and noise correlations. We are also interested in the formation of three-electron bound states in a solid-state system. In a second project, we consider two spin-up and spin-down electrons that are subject to an inert Fermi sea in a lower band with a quadratic dispersion relation, forming a Cooper pair. We expand the Cooper problem by including an additional electron in an otherwise empty band with a quadratic dispersion relation that interacts attractively with the other electrons. We constitute a system of two coupled integral equations in momentum space describing the three-electron system. Our analytical and numerical solutions demonstrate that beyond a critical interband interaction, three electrons can form a bound state at interaction strengths that are not yet sufficient to form a Cooper pair. We refer to that three-electron bound state as an electron trimer state. Our analytical estimate of the critical interband interaction strength shows that it is the lowest for large effective masses of the additional electron, small Fermi velocities, and a large Debye energy. As we increase the intraband interaction strength in absolute magnitude, the trimer state competes with the formation of a Cooper pair. Our results imply that three electrons can also form a bound state for noninteracting intraband electrons. From the perspective of the electrons in a lower band, this trimer state can be interpreted as a particle-induced bound state. Moreover, when the effective mass of the electrons in a lower band is much larger than the effective mass of the electron in a higher band and also for a Debye energy comparable to the Fermi energy, we observe the formation of more than one trimer state. As an experimental signature of the electron trimers in conventional superconductors, we propose two scenarios using the modern technology of pump-probe experiments. A first scenario is to detect an electron trimer as an excited state revealed as an in-gap resonance peak by optically probing this state or by optically pumping electrons to a higher band. A second scenario is to detect a trimer state as the ground state of the system which destabilizes the BCS state. As another example of trimers we mention Efimov states, that are the three-body bound states of particles interacting in short ranges. In contrast to a Cooper pair, an Efimov state is formed in vacuum. Unlike the electron trimers, the number of the Efimov states is in principle infinite, obeying a geometric scaling law. In a third project, we study the effect of Fermi seas on the Efimov spectrum. We constitute a system of two coupled integral equations in momentum space, and determine the three-body bound states of an atom in a Fermi mixture for contact interactions. We demonstrate that the Fermi seas deform the corresponding Efimov spectrum systematically, and push the overall spectrum towards positive values of the s-wave scattering lengths due to the Pauli blocking of states. We show that this effect is more pronounced near unitarity, for which we find an analytical estimate. We note that the deformation of the Efimov spectrum breaks the translational symmetry, implying that the Efimov scaling law does not hold anymore. We obtain a generalized scaling law that governs three-body bound states in the presence of Fermi seas. Finally, our results enable us to propose three scenarios to observe the experimental signature of the three-body bound states in an ultracold fermionic mixture of Yb isotopes. We estimate the onset of a three-body bound state and the binding energy.