Kurzfassung
In dieser Arbeit werden die dynamischen und Gleichgewichtseigenschaften
identisch geladener Teilchen, deren Bewegung auf helixartige
Mannigfaltigkeiten eingeschränkt ist, untersucht. Ausgehend von dem
trivialen Fall der Einschränkung auf ein Liniensegment, untersuchen wir
die statistischen Eigenschaften des Vielteilchensystems. Wir
identifizieren einen Übergang von einer kristallinen zu einer
clusterartigen Phase bei steigender Temperatur und ein nichtextensives
Verhalten der thermodynamischen Funktionen, begründet durch den
langreichweitigen Charakter der Wechselwirkung. Wird die Fallengeometrie
nichttrivial, ergibt sich eine fundamentale Änderung der
Zweikörperwechselwirkung, die im Fall der Einschränkung auf eine
homogene Helix eine oszillatorische Form annimmt, was die Entstehung
gebundener Paare ermöglicht. Für eine inhomogene helikale Falle koppeln
die Schwerpunkts- und Relativbewegung zweier Ladungen und induzieren
einen Energietransfer zwischen der kollektiven und der relativen
Bewegung, was die Aufspaltung eines anfänglich gebundenen Zustands in
einem Streuprozess ermöglicht. Im Vielkörperproblem führt die
Einschränkung gleichartiger geladener Teilchen auf eine geschlossene
Helix zur Entstehung verschiedener Gleichgewichtszustände. Bei
verträglichen Füllungsfaktoren verursacht eine Vergrößerung des
Helixradius eine Pitchfork-Bifurkation des Grundzustands von einer
symmetrischen Polygonanordnung zu einer zickzackartigen Konfiguration.
Bemerkenswerterweise bewirkt die Veränderung des Helixradius unterhalb
des Bifurkationspunkts eine unkonventionelle Verformung des
Vibrationsspektrums, wobei nacheinander Parameterbereiche mit entartetem
und invertiertem Spektrum durchlaufen werden. Das entartete
Linearisierungsspektrum ermöglicht eine im Wesentlichen unabhängige
Bewegung der einzelnen Teilchen und damit die Existenz lokalisierter
Anregungen, die sich ohne signifikante räumliche Ausbreitung in der Zeit
entwickeln. Neben der Dynamik kleiner Schwingungen ist auch die
Entwicklung nichtlinearer Anregungen stark beeinflusst durch die
Geometrie. Speziell erfährt eine anfänglich breite Anregung im Laufe der
Dynamik einen fokussierenden oder defokussierenden Effekt, je nach Wahl
des Helixradius. Dieses geometrisch kontrollierte nichtlineare Verhalten
kann im Rahmen eines effektiven diskreten nichtlinearen
Schrödingermodells verstanden werden, was darüber hinaus das Auffinden
intrinsisch lokalisierten Anregungen des Systems ermöglicht.
In this thesis the equilibrium and dynamical properties of identical charged particles confined in different helical manifolds are studied. Starting from the trivial case of a confinement on a line-segment we investigate the statistical properties of the many-body system of charges. We detect a crossover from a crystalline to a cluster phase with increasing temperature and a non-extensive behaviour of the thermodynamic functions, owing to the long-range character of the interactions. The two-body interactions change fundamentally when the trapping geometry becomes curved, acquiring an oscillatory form in the case of trapping on a homogeneous helix, allowing for the creation of bound pairs. For an inhomogeneous helical trap, the center-of-mass and the relative motion of two charges couple, and induce an energy transfer between the collective and the relative motion, making possible a dissociation of initially bound states through scattering. In the many-body case, the constraint of equally charged particles on a closed helix leads to the emergence of different equilibrium states. At commensurate fillings, the ground state undergoes a pitchfork bifurcation from a symmetric polygonic to a zigzag-like configuration with increasing radius of the helix. Remarkably, below the bifurcation point, the vibrational frequency spectrum deforms in an unconventional manner with the increment of the helix radius, passing through subsequent stages of degeneracy and inversion. The degenerate spectrum allows for an essentially independent motion of the individual particles resulting in localized excitations which can propagate in time without significant spreading. Apart from the dynamics of small amplitude excitations, also the dynamics of nonlinear excitations is crucially affected by the geometry. In particular, a broad excitation is found to undergo a focusing or defocusing during the time evolution, depending on the values of the helix radius. This geometrically controlled nonlinear behaviour can be understood within an effective discrete nonlinear Schrödinger model, which also allows for identifying some breather-like excitations in the system.