Kurzfassung
Diese Arbeit untersucht Schleifenintegranden von Korrelationsfunktionen skalarer Half-BPS-Operatoren in der vierdimensionalen N=4 supersymmetrischen Yang–Mills Theorie (SYM). Die N=4 SYM stellt aufgrund ihres hohen Symmetriegrades, ihrer Rolle in der AdS/CFT-Korrespondenz und dem Auftreten von Integrabilität im planaren Limes ein zentrales „theoretisches Labor" dar.
Zunächst untersuchen wir planare generierende Funktionen mehrerer Punkte, die unendlich viele Korrelatoren mit fester Ladung zu einheitlichen Ausdrücken kombinieren, wobei zehndimensionale Koordinaten verwendet werden, die Raumzeit- und R-Symmetrie-Variablen zusammenführen. Wir berechnen die generierenden Funktionen bei fünf Punkten für eine und zwei Schleifen, sowie die generierende Funktion bei sechs Punkten für eine Schleife. Die Ergebnisse zeigen eine rekursive Verschachtelungsstruktur, in der zehndimensionale Pole höherer Ordnung durch Korrelatoren geringerer Punkte gesteuert werden.
Als Nächstes analysieren wir zehndimensionale Nullpolygone, die als spezifischer kinematischer Limes der generierenden Funktionen erhalten werden, indem diese in einfachere Polygonfunktionen mit Scheibentopologie faktorisiert werden. Wir präsentieren eine Twistor-basierte direkte Berechnung der Polygonintegranden und bestimmen die Integranden bei zwei Schleifen für eine beliebige Anzahl externer Operatoren. Durch Nutzen von weichen und kollinearen Bootstrap-Bedingungen in der Off-Shell-Kinematik legen wir den Fünfpunkt-Pentagonintegranden bis zu fünf Schleifen eindeutig fest. Dies bietet einen nützlichen Rahmen zum Testen von Dualitäten zwischen Korrelationsfunktionen und massiven Streuamplituden.
Schließlich gehen wir über den planaren Limes hinaus und berechnen den vollständigen nicht-planaren Vierpunkt-Integranden bei fünf Schleifen für die leichtesten Skalaroperatoren. Dies wird mithilfe eines GPU-beschleunigten Algorithmus zur Berechnung von Grassmann-Multiplikationen in den Twistor-Feynman-Regeln erreicht. Das Ergebnis zeigt, dass sich der Integrand ausschließlich als Summe von Beiträgen vom Genus 1 ausdrücken lässt. Darüber hinaus ermöglicht es uns, die nicht-planare Fünf-Schleifen-Korrektur zur anomalen Dimension des Konishi-Operators zu ermitteln.
Diese Ergebnisse liefern neue Einblicke in die Struktur der Mehrpunkt-Korrelations-funktionen in der N=4 SYM und eröffnen neue Wege für weitere Untersuchungen sowohl der planaren als auch der nicht-planaren Dynamik.
This thesis investigates loop integrands of correlation functions of scalar half-BPS operators in four-dimensional N=4 supersymmetric Yang–Mills (SYM) theory. N=4 SYM provides a central "theoretical laboratory" due to its high degree of symmetry, its role in the AdS/CFT correspondence, and the emergence of integrability in the planar limit. First, we study planar higher-point generating functions, which combine infinitely many fixed-charge correlators into unified expressions using ten-dimensional coordinates that merge spacetime and R-symmetry variables. We compute the five-point generating function at one and two loops, and the six-point function at one loop. The results exhibit a recursive nesting structure in which higher-order ten-dimensional poles are controlled by lower-point correlators. Second, we analyze ten-dimensional null polygons, obtained as a specific kinematic limit of the generating functions, where these factorize into simpler polygon functions with disc topology. We present a twistor-based direct computation of the polygon integrands, and determine the two-loop integrands for any number of external operators. By imposing soft and collinear bootstrap constraints in off-shell kinematics, we uniquely fix the five-point pentagon integrand up to five loops. This provides a useful setting for testing dualities between correlation functions and massive scattering amplitudes. Finally, we go beyond the planar limit and compute the full non-planar five-loop four-point integrand for the lightest scalar operators. This is achieved using a GPU-accelerated algorithm for evaluating Grassmann multiplications in the twistor Feynman rules. The result shows that the integrand can be expressed purely in terms of genus-one contributions. Furthermore, it allows us to extract the non-planar five-loop correction to the Konishi anomalous dimension. These results provide new insight into the structure of higher-point correlation functions in N=4 SYM and open avenues for further investigations of both planar and non-planar dynamics.